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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion,
[mm] x\in \mathbb{R}: x\mapsto F(x)=\int_0^{x^2} exp(t^2x^2) dt [/mm]
Bestimmen Sie die Intervalle [mm] ]a,b[\subset \mathbb{R} [/mm] auf welchen die Funktion wachsend (bzw. fallend) ist und die Intvalle auf welchen sie konvex (bzw. konkav) ist. |
Ich denke, dass ich erstmal die Definition von konkav benutzen muss.
[mm] f(ta+(1-t)b)\geq tf(a)+(1-t)f(b) [/mm] wobei [mm]t\in ]0,1[ [/mm] gilt.
Viel weiter komme ich aber nicht.
Kann jemand bitte einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion,
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> [mm]x\in \mathbb{R}: x\mapsto F(x)=\int_0^{x^2} exp(t^2x^2) dt[/mm]
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> Bestimmen Sie die Intervalle [mm]]a,b[\subset \mathbb{R}[/mm] auf
> welchen die Funktion wachsend (bzw. fallend) ist und die
> Intvalle auf welchen sie konvex (bzw. konkav) ist.
> Ich denke, dass ich erstmal die Definition von konkav
> benutzen muss.
>
> [mm]f(ta+(1-t)b)\geq tf(a)+(1-t)f(b)[/mm] wobei [mm]t\in ]0,1[[/mm] gilt.
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> Viel weiter komme ich aber nicht.
> Kann jemand bitte einen Tipp geben?
Berechne F'(x) und F''(x) und schau nach auf welchen Intervallen
F' [mm] \ge [/mm] ( [mm] \le [/mm] ) 0 ist.
Ebenso mit F''
FRED
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Besten Dank fuer deine Antwort FRED. Ich stosse aber auch hier auf Probleme.
Es gilt: [mm] F'(x)=\int_0^{x^2} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt
[/mm]
und man darf diese ja auch vertauschen, also F'(x) = [mm] \frac{\partial }{\partial x} \int_0^{x^2}f(x,t)dt
[/mm]
Eifach partiell ableiten ist ja kein Problem. Aber danach das Integral berechnen. Ich kann weder Das Integral vom Integranden noch das Integral von der partiellen Ableitung berechnen. Irgendwas wesentliches uebersehe ich hier doch ?
Beste Gruesse
Alfred
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Besten Dank fuer deine Antwort FRED. Ich stosse aber auch
> hier auf Probleme.
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> Es gilt: [mm]F'(x)=\int_0^{x^2} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt[/mm]
Nein. Das stimmt nicht, denn die obere Integrationsgrenze hängt auch von x ab !
Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral
unter "Leibnizregel für Parameterintegrale"
FRED
>
> und man darf diese ja auch vertauschen, also F'(x) =
> [mm]\frac{\partial }{\partial x} \int_0^{x^2}f(x,t)dt[/mm]
>
> Eifach partiell ableiten ist ja kein Problem. Aber danach
> das Integral berechnen. Ich kann weder Das Integral vom
> Integranden noch das Integral von der partiellen Ableitung
> berechnen. Irgendwas wesentliches uebersehe ich hier doch
> ?
>
> Beste Gruesse
> Alfred
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Okay lass es mich noch einmal versuchen. Nicht sicher ob ich den Kommentar bzgl. der Oberen Integralgrenze von x richtig verstanden habe.
Die Leibnitzregel:
F'(x)= [mm] \frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{o(x)}f(x,t)dt=o'(x)f(x,o(x))-u'(x)f(x,u(x))+ \int_{u(x)}^{o(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt
[/mm]
In meinem Falle sind also:
o(x) [mm] =x^2 [/mm] sowie o'(x)=2x
u(x)=0 sowie u'(x)=0
[mm] f(x,t)=exp(t^2x^2) \Rightarrow [/mm] f(x,o(x))= [mm] exp((2x)^2x^2)
[/mm]
[mm] f(x,u(x))=exp(0^2x^2)=1
[/mm]
[mm] \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)=\frac{\parital}{\partial x} exp(t^2x^2)=2xt^2exp(t^2x^2)
[/mm]
Also ist
[mm] F'(x)=2xexp(4x^4) +\int_{0}^{3x}2xt^2exp(t^2x^2)dt
[/mm]
Und eben jenes Integral laesst sich - von mir jedenfalls - nicht loesen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib den Integranden als [mm] t*(t*exp(x^2*t^2)) [/mm] u=t, [mm] v'=t*exp(x^2*t^2)) [/mm] partiell integrieren.
gruss leduart
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Besten Dank Leduart. Ich konnte die Aufgabe nun loesen.
Gruss Alfred
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