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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Definiere f: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch
f(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{tx dt}
[/mm]
a) Berechnen Sie f' direkt, indem Sie das Integral berechnen und dann differenzieren.
b) Berechnen SIe f' unter Verwendung von Sätzen über Parameterintegrale. |
Ich habe a) schonmal rechnen können:
[mm] \integral_{0}^{x}{tx dt} [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \bruch{3x^{2}}{2}
[/mm]
Bei b) habe ich nun mein Problem:
Da das Parameterintegral nur über fixe Konstante geht, substituiere ich:
[mm] \psi(t,x) [/mm] = tx [mm] \Rightarrow \partial{t} [/mm] = [mm] \bruch{\partial\psi}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{\psi(0,x)}^{\psi(1,x)}{\bruch{\partial\psi(t,x)}{\partial x} \bruch{d\psi}{x}}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{\psi(0,x)}^{\psi(1,x)}{t \bruch{d\psi}{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{2}
[/mm]
Eigentlich muss daselbe wie in a) rauskommen, aber ich weiß nicht wo ich den Fehler gemacht habe.
Kann mir jemand weiter helfen?
Liebe Grüße
Joan
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> Definiere f: [mm]\IR \to \IR[/mm] durch
>
> f(x) := [mm]\integral_{0}^{x}{tx dt}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie f' direkt, indem Sie das Integral
> berechnen und dann differenzieren.
>
> b) Berechnen SIe f' unter Verwendung von Sätzen über
> Parameterintegrale.
> ......
> Liebe Grüße
> Joan
Hallo Joan,
Die Formel (nur für variable Obergrenze [mm] \psi(x)) [/mm]
für diesen Fall wäre:
[mm] $\bruch{d}{dx}\left(\integral_{0}^{\psi(x)}g(x,t)\ dx\right)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0}^{\psi(x)}g_x(x,t)\ [/mm] dt\ +\ [mm] g(x,\psi(x))*\psi'(x)$
[/mm]
Dabei müsste man nun $\ g(x,t)=t*x$ und [mm] $\psi(x)=x$ [/mm] setzen.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Oh, achsooooo ^^
Dank dir viel mals. Ich versuch das mal direkt so zu lösen.
Gruß
Joan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Ich hab doch noch eine Frage :(
Wenn ich jetzt einsetze, erhalte ich doch:
[mm] \bruch{x^{3}}{2}+x^{2} [/mm]
Das ist nur ungleich f' aus a)
Kann man es eigentlich nur durch diese Formel lösen? Weil ich die nicht in der Vorlesung durchgenommen habe, dürfte ich sie eigentlich nicht anwenden.
Gruß
Joan
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> Ich hab doch noch eine Frage :
> Wenn ich jetzt einsetze, erhalte ich doch:
>
> [mm]\bruch{\red{x^3}}{2}+x^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da sollte nicht [mm] $\red{x^3}$, [/mm] sondern [mm] $\blue{x^2}$ [/mm] stehen !
Und dann passt's.
> Kann man es eigentlich nur durch diese Formel lösen? Weil
> ich die nicht in der Vorlesung durchgenommen habe, dürfte
> ich sie eigentlich nicht anwenden.
Ich habe eine Formel aus Wikipedia geholt und
etwas angepasst. Nebenbei erwähnt: ich habe
eine solche Formel noch nie im Leben gebraucht ...
Zuallererst habe ich aber einen eigenen Weg mit
der Produktregel gesucht. Der sieht so aus:
[mm] $\bruch{d}{dx}\left(\integral_{0}^{x}t*x\ dt\right)=\bruch{d}{dx}\left(\underbrace{x}_{u}*\underbrace{\integral_{0}^{x}t\ dt}_{v}\right)$
[/mm]
$\ =\ u'*v+u*v'\ =\ [mm] 1*\integral_{0}^{x}t\ [/mm] dt\ +\ [mm] x*\bruch{d}{dx}\left(\integral_{0}^{x}t\ dt\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \bruch{x^2}{2}+x*x\ [/mm] =\ [mm] \bruch{3}{2}\ x^2$
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Aber wieso [mm] x^{2}?
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\psi(x)}{g(x,t) dt} [/mm]
[mm] \bruch{t^{2}x}{2}|^{x}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}}{2}
[/mm]
oder????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Aaaah! Ich hab vergessen abzuleiten. Jetzt hab ich das gleiche Ergebnis bekommen. Dank dir nochmals Al-Chwarizmi ^^
Liebe Grüße
Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Die obige Frage ist beantwortet. Leider kann ich sie nur nicht als beantwortet markieren, deshalb diese Mitteilung. ^^
Gruß
Joan
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