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Parametrisierung: "Tipp"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Di 02.05.2017
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Betrachten Sie folgende Parametrisierung von Koordinaten in der xy-Ebene: $ [mm] x=se^{u} [/mm] $ und $ [mm] y=se^{−u} [/mm] $ , wobei u [mm] \in \IR [/mm] und s > 0.

a) Berechnen Sie die Einheitsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{s} [/mm] dieses Koordinatensystems.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{s} [/mm] orthogonal zueinander sind.
c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in den gegebenen Koordinaten.
d) Geben Sie an, wie die Beschleunigung im krummlinigen System lautet.

Hallo!

Ich habe hier eine recht simple Aufgabe, die mich dann doch sehr zum Nachdenken bewegt und ich auch nicht mehr wirklich weiter weiß. Hier mal meine Ansätze.

zu 1:
Eigentlich habe ich gedacht, dass es einfach wäre die Vektoren aufzustellen, da ich nur nach den bestimmenden Parametern umstellen muss und dann die Koordinaten zuordne.

$ [mm] x=se^{u} \gdw s=\bruch{x}{e^{u}}=x*e^{-u} [/mm] $ und $ [mm] y=se^{-u} \gdw s=\bruch{y}{e^{-u}}=y*e^{u} [/mm] $

also: $ [mm] \vec{s}(t)=\vektor{e^{-u} \\ e^{u}}\vec{t} [/mm] $

Für [mm] \vec{u} [/mm] gebe ich direkt mal den Vektor an:

also: $ [mm] \vec{u}(t)=\vektor{ln(\bruch{t}{s}) \\ -ln(\bruch{t}{s})} [/mm] $

Ich habe auch schon beide Vektoren normiert und deren Skalarprodukt gebildet, wollte aber erst einmal wissen, ob denn diese Vektoren überhaupt so stimmen. Sonst wäre der Rest ja auch komplett falsch.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Parametrisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Di 02.05.2017
Autor: Chris84

Huhu,

> Betrachten Sie folgende Parametrisierung von Koordinaten in
> der xy-Ebene: [mm]x=se^{u}[/mm] und [mm]y=se^{−u}[/mm] , wobei u [mm]\in \IR[/mm]
> und s > 0.

Wir merken uns hier mal [mm] $\vec{r}(s,u)=\vektor{se^u \\ se^{-u}} [/mm] $. (Dein Minuszeichen bei der $y$-Komponente ist uebrigens verschollen.)

>  
> a) Berechnen Sie die Einheitsvektoren [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{s}[/mm]
> dieses Koordinatensystems.

Es waere hier deutlich sinniger gewesen, die Einheitsvektoren [mm] $\vec{e}_{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{s}$ [/mm] zu nennen, um nicht mit den Parametern $u$ und $s$ von [mm] $\vec{r}$ [/mm] durcheinander zu kommen.

> b) Zeigen Sie, dass [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{s}[/mm] orthogonal
> zueinander sind.
>  c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in den
> gegebenen Koordinaten.
>  d) Geben Sie an, wie die Beschleunigung im krummlinigen
> System lautet.
>  Hallo!
>  
> Ich habe hier eine recht simple Aufgabe, die mich dann doch
> sehr zum Nachdenken bewegt und ich auch nicht mehr wirklich
> weiter weiß. Hier mal meine Ansätze.
>  
> zu 1:
> Eigentlich habe ich gedacht, dass es einfach wäre die
> Vektoren aufzustellen, da ich nur nach den bestimmenden
> Parametern umstellen muss und dann die Koordinaten
> zuordne.
>  
> [mm]x=se^{u} \gdw s=\bruch{x}{e^{u}}=x*e^{-u}[/mm] und [mm]y=se^{-u} \gdw s=\bruch{y}{e^{-u}}=y*e^{u}[/mm]
>  
> also: [mm]\vec{s}(t)=\vektor{e^{-u} \\ e^{u}}\vec{t}[/mm]
>
> Für [mm]\vec{u}[/mm] gebe ich direkt mal den Vektor an:
>  
> also: [mm]\vec{u}(t)=\vektor{ln(\bruch{t}{s}) \\ -ln(\bruch{t}{s})}[/mm]
>  

Ich bin mir nicht sicher, was du hier machst (siehe aber auch die Notationsprobleme weiter oben), aber man sieht relativ schnell, dass die beiden Vektoren, die du berechnet hast, nicht senkrecht aufeinander stehen.

TIPP: Es ist [mm] $\vec{e}_{j}=\frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial j}}{|\frac{\partial \vec{r}}{\partial j}|}$ [/mm] mit [mm] $j\in \{u,s\}$ [/mm] und [mm] $|\cdot|$ [/mm] bezeichne hier die euklidische Norm.

Hilft das?

> Ich habe auch schon beide Vektoren normiert und deren
> Skalarprodukt gebildet, wollte aber erst einmal wissen, ob
> denn diese Vektoren überhaupt so stimmen. Sonst wäre der
> Rest ja auch komplett falsch.
>
> Gruß
>  Ardbeg

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Parametrisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 03.05.2017
Autor: Ardbeg

Hallo Chris,

danke erst einmal für deine Hilfe. Und stimmt, mir ist da beim Tippen wohl ein Minuszeichen verloren gegangen. Meine Idee war es, die Vektoren über die x und y Koordinate auszudrücken, wobei es wohl wirklich einfacher mit dem typischen Formalismus geht.

Dennoch scheine ich dabei ebenfalls einen Fehler gemacht zu haben oder die Funktionen wären nur für einen bestimmten Fall orthogonal, was ich mir nicht vorstellen kann.

Es ist: $ [mm] \vec{e_{u}}=\bruch{1}{s*\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{s*e^{u} \\ -s*e^{-u}} [/mm] $ und $ [mm] \vec{e_{s}}=\bruch{1}{\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{e^{u} \\ e^{-u}} [/mm] $

Bilde ich jetzt das Skalarprodukt, dann komme ich auf den Term: $ [mm] e^{2u}-e^{-2u} [/mm] $
Dieser kann aber nur $ 0 $ werden, wenn $ u=-u $ ist, würde somit ja nicht auf alle $ u [mm] \in \IR [/mm] $ zutreffen. Das will mir noch nicht so richtig einleuchten.

Gruß
Dennis

Bezug
                        
Bezug
Parametrisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mi 03.05.2017
Autor: Chris84


> Hallo Chris,

Huhu,

>
> danke erst einmal für deine Hilfe. Und stimmt, mir ist da
> beim Tippen wohl ein Minuszeichen verloren gegangen. Meine
> Idee war es, die Vektoren über die x und y Koordinate
> auszudrücken, wobei es wohl wirklich einfacher mit dem
> typischen Formalismus geht.
>
> Dennoch scheine ich dabei ebenfalls einen Fehler gemacht zu
> haben oder die Funktionen wären nur für einen bestimmten
> Fall orthogonal, was ich mir nicht vorstellen kann.
>
> Es ist:
> [mm]\vec{e_{u}}=\bruch{1}{s*\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{s*e^{u} \\ -s*e^{-u}}[/mm]
> und
> [mm]\vec{e_{s}}=\bruch{1}{\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{e^{u} \\ e^{-u}}[/mm]

Das bekomme ich auch (beim ersten Basisvektor kann man noch das $s$ kuerzen).

>  
> Bilde ich jetzt das Skalarprodukt, dann komme ich auf den
> Term: [mm]e^{2u}-e^{-2u}[/mm]

Du hast das Produkt der Wurzeln im Nenner vergessen, also eigentlich kommt da
[mm] $\frac{e^{2u}-e^{-2u}}{e^{2u}+e^{-2u}}$ [/mm] raus.

>  Dieser kann aber nur [mm]0[/mm] werden, wenn [mm]u=-u[/mm] ist, würde somit
> ja nicht auf alle [mm]u \in \IR[/mm] zutreffen. Das will mir noch
> nicht so richtig einleuchten.

Hmm, also wenn wir nicht beide irgendwo einen groben Schnitzer gemacht haben, sehe ich tatsaechlich keine Orthogonalitaet fuer alle $(s,u)$!?
Hast du nochmal die Aufgabenstellung ueberprueft?

>
> Gruß
>  Dennis

Gruss,
Chris

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