Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:01 Mo 28.04.2008 | | Autor: | DukeT |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüß euch,
Es ist eine Funktion gegeben, [mm] f(x,y)=\wurzel{2}*e^{-y}*cos(x)
[/mm]
Diese Funktion beschreibt die Temperatur eines Teilchens am Ort [mm] \vektor{x \\ y}.
[/mm]
Zu suchen ist eine Parametrisierung des Weges, den ein hitzesuchendes Teilchen, welches in [mm] \vektor{\bruch{\pi}{3} \\ 0} [/mm] startet, zurücklegt.
Meine Überlegung:
Das hitzesuchende Teilchen bewegt sich immer in Richtung des größten Temperaturanstiegs. Also ist der Geschwindigkeitsvektor des Weges, das das Teilchen zurücklegt, gleich dem Gradienten der Funktion f.
Dieser ist
[mm] Gradient(f)=-\wurzel{2}*e^{-y}*\vektor{sin(x)\\cos(x)}
[/mm]
Also, ich habe den "Startpunkt" des Teilchens und den Geschwindigkeitsvektor des Weges. Nun, der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitungs des Weges, allerdings nur parametrisiert betrachtet, was hier aber nicht der Fall ist.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mo 28.04.2008 | | Autor: | DukeT |
Alles klar, ich hab die Lösung.
Falls es wen interessiert: Ich sehe den Weg als eine Funktion, abhängig von x.
Durch den Gradienten bekomme ich die Steigung, welche
[mm] k=\bruch{-\wurzel{2}*e^{-y}*cos(x)}{-\wurzel{2}*e^{-y}*sin(x)}=cot(x) [/mm] beträgt.
Dies ist also die Ableitung, die Funktion bekomme ich durch einfache Integration.
Also:
[mm] \integral_{}{}{cot(x) dx}=ln(sin(x))+c [/mm] , indem ich den Sinus substituiere.
c bestimme ich durch [mm] y(\pi/3)=-ln(\bruch{\wurzel{3}}{2})+c, [/mm] da y aber 0 sein muss (weil ich im Punkt [mm] \vektor{\bruch{\pi}{3}\\0} [/mm] starte), ist [mm] c=-ln(\bruch{\wurzel{3}}{2})
[/mm]
Also [mm] y(x)=ln(sin(x))-ln(\bruch{\wurzel{3}}{2})=ln(\bruch{2*sin(x)}{\wurzel{3}})
[/mm]
Mein (nach t) parametrisierter Weg ist also
x(t)=t
[mm] y(t)=ln(\bruch{2*sin(t)}{\wurzel{3}})
[/mm]
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