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Parametrisierung: stat. Modell
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 14.11.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, man soll für das statistische Modell

[mm] $(\mathcal{M},\mathcal{A},\mathcal{P})=\left(\left\{0,1\right\}^n, \mathfrak{P}\left(\left\{0,1\right\}^n\right), \otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)\right)$ [/mm]

zwei Parametrisierungen [mm] $\theta_1$ [/mm] (ordnet jedem [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] den Erwartungswert [mm] $E(X_1)$ [/mm] zu) und [mm] $\theta_2$ [/mm] (ordnet jedem [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] die Varianz [mm] $\operatorname{Var}(X_1)$ [/mm] zu) betrachten und sagen, ob die Verteilungen durch sie eindeutig charakterisiert sind.

[Anmerken muss ich noch die Info, daß [mm] $X_i\sim \operatorname{Bin}(1,p)$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen sind.]

Meine Frage ist, ob ich mit meiner Idee (s.u.) richtig liege.

[mm] $\theta_1$: [/mm]

Die [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] sind ja von der Form [mm] $\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)$, [/mm] wobei [mm] $p\in [/mm] [0,1]$.

Wenn man jetzt jedem solchen [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] den Erwartungswert [mm] $E(X_1)=p$ [/mm] zuordnet, so hat man doch quasi eine bijektive Abbildung (kann man das so sagen?) und die [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] sind eindeutig charakterisiert. Das heißt, p kann wieder aus $[0,1]$ stammen.


[mm] $\theta_2$: [/mm]

Da [mm] $\operatorname{Var}(X_1)=p(1-p)=[0,0.25]$ [/mm] liegt hier keine injektive Abbildung vor. Das heißt, wo man ehemals zum Beispiel [mm] $P_{0,3}$ [/mm] und [mm] $P_{0,7}$ [/mm] unterscheiden konnte, sind jetzt [mm] $P_{0,3}=P_{0,7}$. [/mm]



Wer kann mir sagen, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe?


Liebe Grüße und dankesehr!

mikexx

        
Bezug
Parametrisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Di 15.11.2011
Autor: donquijote


> Hallo, man soll für das statistische Modell
>  
> [mm](\mathcal{M},\mathcal{A},\mathcal{P})=\left(\left\{0,1\right\}^n, \mathfrak{P}\left(\left\{0,1\right\}^n\right), \otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)\right)[/mm]
>  
> zwei Parametrisierungen [mm]\theta_1[/mm] (ordnet jedem
> [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] den Erwartungswert [mm]E(X_1)[/mm] zu) und [mm]\theta_2[/mm]
> (ordnet jedem [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] die Varianz
> [mm]\operatorname{Var}(X_1)[/mm] zu) betrachten und sagen, ob die
> Verteilungen durch sie eindeutig charakterisiert sind.
>  
> [Anmerken muss ich noch die Info, daß [mm]X_i\sim \operatorname{Bin}(1,p)[/mm]
> unabhängige Zufallsvariablen sind.]
>  Meine Frage ist, ob ich mit meiner Idee (s.u.) richtig
> liege.
>  
> [mm]\theta_1[/mm]:
>  
> Die [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] sind ja von der Form
> [mm]\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)[/mm], wobei [mm]p\in [0,1][/mm].
>  
> Wenn man jetzt jedem solchen [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] den
> Erwartungswert [mm]E(X_1)=p[/mm] zuordnet, so hat man doch quasi
> eine bijektive Abbildung (kann man das so sagen?) und die
> [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] sind eindeutig charakterisiert. Das heißt,
> p kann wieder aus [mm][0,1][/mm] stammen.

Ja, sehe ich auch so.

>  
>
> [mm]\theta_2[/mm]:
>  
> Da [mm]\operatorname{Var}(X_1)=p(1-p)=[0,0.25][/mm]

du meinst [mm] $\in...$ [/mm]

> liegt hier keine
> injektive Abbildung vor. Das heißt, wo man ehemals zum
> Beispiel [mm]P_{0,3}[/mm] und [mm]P_{0,7}[/mm] unterscheiden konnte, sind
> jetzt [mm]P_{0,3}=P_{0,7}[/mm].

hast du auch richtig erkannt

>  
>
>
> Wer kann mir sagen, ob ich die Aufgabe richtig verstanden
> habe?
>  
>
> Liebe Grüße und dankesehr!
>  
> mikexx


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