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Hallo zusammen,
ich möchte eine Kurve parametrisieren. Und zwar läuft sie entlang einer Parabel bis zum Punkt (1,1) und von dort aus entlang einer Geraden wieder zurück zum Ursprung. Hier mein Entwurf:
[mm] \gamma(t):=\gamma_1 [/mm] + [mm] \gamma_2
[/mm]
[mm] \gamma_1(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t^2}
[/mm]
[mm] \gamma_2(t) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}-t*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
für [mm] 0\le t\le1
[/mm]
Ist dies plausibel? Ich stelle die Frage vor allem, weil mich der Laufparameter irritiert. Muss die Spur der Reihe nach durchlaufen werden, oder ist es egal, dass man sich bei t=0 in [mm] \gamma_1 [/mm] am Anfang und bei [mm] \gamma_2 [/mm] mitten im KO-System befindet?
Wäre für ne Antwort sehr dankbar!
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Hi,
wenn du [mm] \gamma_1+\gamma_2 [/mm] rechnest, dann kommt nur ein Strich heraus. Ich nehme an, du meinst zwei unterschiedliche Kurven, die allerdings vereinigt als eine einzige?
> [mm]\gamma(t):=\gamma_1[/mm] + [mm]\gamma_2[/mm]
> [mm]\gamma_1(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t^2}[/mm]
> [mm]\gamma_2(t)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}-t*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> für [mm]0\le t\le1[/mm]
Das was hier da steht, wenn man zuerst [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] zeichnet (also ohne +) führt auf den Parabelast bis zur eins und dann von dem Punkt (1,1) bis zu (0,0) eine Gerade.
Ich glaube nicht, dass das dein Ziel war?
Wenn du denselben Weg wieder zurückgehen willst, denn wäre es doch [mm] \gamma_2(t)=\vektor{-t \\ t^2} [/mm] , [mm] t\in[-1,0]
[/mm]
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> Hi,
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> wenn du [mm]\gamma_1+\gamma_2[/mm] rechnest, dann kommt nur ein
> Strich heraus. Ich nehme an, du meinst zwei
> unterschiedliche Kurven, die allerdings vereinigt als eine
> einzige?
Ja, genau. Ich möchte zwei Kurven addieren, um eine geschlossene Kurve zu erhalten. (Um dann ein Kurvenintegral zu berechnen...)
>
>
> > [mm]\gamma(t):=\gamma_1[/mm] + [mm]\gamma_2[/mm]
> > [mm]\gamma_1(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t^2}[/mm]
> > [mm]\gamma_2(t)[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 1}-t*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> >
> > für [mm]0\le t\le1[/mm]
> Das was hier da steht, wenn man zuerst
> [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] zeichnet (also ohne +) führt auf den
> Parabelast bis zur eins und dann von dem Punkt (1,1) bis zu
> (0,0) eine Gerade.
>
> Ich glaube nicht, dass das dein Ziel war?
Doch genau das ist mein Ziel. Die Frage ist nur ob [mm] t\in [/mm] [0,1] für beide Kurven gilt oder ob es irgendwie so aussehen muss:
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} \gamma_1, & \mbox{für } t\in \mbox{ a,b} \\ \gamma_2, & \mbox{für } t\in \mbox{ c,d} \end{cases}
[/mm]
Mit Endpunkt b = Anfangspunkt c.
(Sorry, krieg das mit den eckigen Klammern nicht hin. Es sollten oben 2 Intervalle stehen)
>
> Wenn du denselben Weg wieder zurückgehen willst, denn
> wäre es doch [mm]\gamma_2(t)=\vektor{-t \\ t^2}[/mm] , [mm]t\in[-1,0][/mm]
Nein, das wollte ich nicht.
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Ok, ich verstehe.
Ja, du betrachtest unabhängig zwei Kurven. Und da kannst du [mm] t\in[0,1] [/mm] wählen. Das ist kein Problem.
Beim dem Kurvenintegral berechnest du dann allerdings zwei Integrale und addierst diese.
Deine Parametrisierung war also schon korrekt, wenn du diese zwei Kurven hier meinst:
![[]](/images/popup.gif) ] Link
Handelt es sich bei dem Kurvenintegral um ein Potentialfeld erübrigt sich die Rechnung ja sowieso, aber wahrscheinlich ist es das nicht ;)
[mm] \gamma(t)=\gamma_1+\gamma_2 [/mm] ist aber nicht korrekt (meiner meinnung nach), denn wenn du das wirklich mal addierst, dann erhältst du eine völlig andere Kurve (wie gesagt, ist dies dann nur ein einzelner armer Strich in der Landschaft.
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1. siehe edit, sorry ;)
> Ok, ich verstehe.
>
> Ja, du betrachtest unabhängig zwei Kurven. Und da kannst
> du [mm]t\in[0,1][/mm] wählen. Das ist kein Problem.
> Beim dem Kurvenintegral berechnest du dann allerdings zwei
> Integrale und addierst diese.
> Deine Parametrisierung war also schon korrekt, wenn du
> diese zwei Kurven hier meinst:
>
> ] Link
yooooo, genau sowas meine ich
>
> Handelt es sich bei dem Kurvenintegral um ein Potentialfeld
> erübrigt sich die Rechnung ja sowieso, aber wahrscheinlich
> ist es das nicht ;)
jap!
>
> [mm]\gamma(t)=\gamma_1+\gamma_2[/mm] ist aber auf nicht korrekt
> (meiner meinnung nach), wenn du das nämlich wirklich mal
> addierst erhältst du eine völlig andere Kurve (wie
> gesagt, ist dies dann nur ein einzelner armer Strich in der
> Landschaft)
Ja, da hast du Recht, eine angemessenere Beschreibung hätte das ein oder andere Misverständnis vermieden.
Aber dennoch noch eine Frage:
Würde ich ich den Paramter in [mm] \gamma_2 [/mm] von t=1 aus starten (bis t=2 oder so), müsste ich zwar umparametrisieren,wie würde sich die Handhabung des Problems denn verändern? Irgendwie irritiert es mich, dass t in beiden Kurven von 0 bis 1 läuft, obwohl es - wie du sagst - richtig so ist.
Danke für die Antworten!
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Ja, dann hast du eine andere Parametrisierung, aber das Integral stört das wenig. ;)
Das t sagt ja nur etwas über die "Länge" der Kurve aus.
Probier es aus! Nimm deine Funktion und setze einmal die obige Parametrisierung ein und dann noch einmal eine andere.
Beide Kurvenintegrale sollten ja gleich sein. Ist ja auch klar, schließlich geht man bei beiden Kurven den gleichen Weg, nur mit unterschiedlicher Parametrisierung.
Im Prinzip hat man ja zwei Intervalle. Das eine gehört zu [mm] \gamma_1 [/mm] und das andere zu [mm] \gamma_2
[/mm]
Das nun beide genau gleich sind kann einen ja nur freuen, da kann man wenigstens nichts verwechseln.
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Jo, stimmt das mit den Intervallen!!!
Danke für den Schubs auf dem Pfad der Erleuchtung (in Richtung Erleuchtung) ;)
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