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Forum "Uni-Analysis" - Parametrisierung/Einheitssphäre
Parametrisierung/Einheitssphäre < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Parametrisierung/Einheitssphäre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 So 06.06.2004
Autor: Volker84

Hier ist eine Aufg. meines Übungsblattes, mit der ich ein paar Problemchen habe.
Sei S²:={x aus R³| |x|=1} die Einheitssphäre in R³
. Geben sie die Parametrisierung f:[0,Pi]x[0,2Pi) -->S² Teilmenge R³ , (Theta, Phi) -->f(Theta, Phi) der Sphäre an.
Bestimmen Sie die Urbilder des Nordpols x=(0,0,1) und des Südpols x=(0,0,-1).
Geben Sie mit Hilfe von f eine Parametrisierung des Äquators A:={x aus R³| |x|=1, x3=0} an.

Danke für eine Antwort
Gruß Volker

[]http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001215&read=1&kat=Studium

        
Bezug
Parametrisierung/Einheitssphäre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 So 06.06.2004
Autor: Marc

Hallo Volker84,

willkommen im MatheRaum :-)!

> Hier ist eine Aufg. meines Übungsblattes, mit der ich ein
> paar Problemchen habe.

Welche Problemchen denn genau?

>  Sei S²:={x aus R³| |x|=1} die Einheitssphäre in R³
>  . Geben sie die Parametrisierung f:[0,Pi]x[0,2Pi) -->S²
> Teilmenge R³ , (Theta, Phi) -->f(Theta, Phi) der Sphäre
> an.

$f: [mm] [0,\pi]\times[0,2\pi]\to S^2\subset \IR^3$ [/mm]
[mm] $(\theta, \phi)\mapsto f(\theta, \phi)$ [/mm]

Die Parametrisierung ist doch recht naheliegend, jedenfalls vom Prinzip her.
Stelle dir einen Armreif vor, der um eine Mandarine (um irgendeine Achse) rotiert.
Wenn du den Armreif um 180° [mm] (=\pi) [/mm] gedreht hast, wurde jeder Punkt auf der Oberfläche der Mandarine vom Armreif überstrichen.

Der Rotationswinkel des Armreif ist also [mm] $\theta$. [/mm]

Eine Rotation auf dem Armreif selbst kann durch den zweiten Parameter [mm] $\phi$ [/mm] beschrieben werden.

Wir haben also zwei sich überlagernde Rotationen, die aber recht simpel durch eine Hintereinanderausführung folgender Rotationen beschrieben werden können:
Stelle dir einen Einheitskreis in der yz-Ebene vor.
Parametrisiere diesen zunächst durch den Parameter [mm] $\phi$. [/mm]
Nun rotiere diesen Kreis um die z-Achse, gemäß Parameter [mm] $\theta$. [/mm]

Beide Rotationen können also auf die Rotation (-smatrix) eines Punktes innerhalb einer Ebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] beschrieben werden.

>  Bestimmen Sie die Urbilder des Nordpols x=(0,0,1) und des
> Südpols x=(0,0,-1).
>  Geben Sie mit Hilfe von f eine Parametrisierung des
> Äquators A:={x aus R³| |x|=1, x3=0} an.

Wenn wir die Parametrisierung haben, dürfte das kein Problem mehr sein.

> []http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001215&read=1&kat=Studium

Danke für den Link :-)
Wenn du auch nett zu den Leuten auf onlinemathe.de sein willst, setze dort jetzt auch einen Link auf unsere Diskussion.

Viele Grüße,
Marc

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