Part. Ableitung allg. Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 28.08.2010 | | Autor: | davidfk |
Hallo zusammen,
dies ist meine erste Frage in diesem Forum, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hoffe ihr könnt mir mit Tipps, Lösungen oder auch nur Denkanstößen weiterhelfen!
Es geht um die partielle Ableitung einer allgemeinen Funktion mit zwei Variablen (Hintergrund: es handelt sich um eine Indifferenzkurve aus der Mikroökonomie). Gegeben ist die Funktion [mm] u(x,y) [/mm], für die gelte, dass das totale Differential gleich 0 ist:
[mm] du=u_{x}dx+u_{y}dy=0 [/mm].
([mm] u_{x} [/mm] ist die partielle Ableitung von [mm] u [/mm] nach [mm]x[/mm]).
Durch Umstellung der letztgenannten Gleichung erhält man den Zusammenhang
[mm] \left.\bruch{dy}{dx}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{x}}{u_{y}} [/mm]
(Hintergrund: Die Gleichung gibt die Steigung der Kurve in der x-y-Ebene an)
Die letztgenannte Gleichung noch einmal nach [mm]x[/mm] abgeleitet ergibt:
[mm] \left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{(u_{xx}+u_{xy}\bruch{dy}{dx})u_{y}-u_{x}(u_{yx}+u_{yy}\bruch{dy}{dx})}{u_{y}^{2}} [/mm]
Meine Frage ist nun, wie ich zu der letztgenannten Gleichung gelange. Die Quotienten- und Kettenregel kann ich für spezielle Funktionen anwenden, jedoch weiß ich nicht, wie ich es in diesem Fall (bei einer allgemeinen Funktion) machen muss. Wenn ich nach meiner Logik die Quotientenregel anwende, komme ich zu folgendem (falschen!) Ergebnis:
[mm] \left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{xx}u_{y}-u_{xy}u_{x}}{u_{y}^{2}} [/mm]. Offensichtlich muss auch die Kettenregel angewandt werden, jedoch hat mich keiner meiner Versuche zu dem richtigen Ergebnis geführt.
Meine konkrete Frage lautet also: Wie gelange ich von
[mm] \left.\bruch{dy}{dx}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{x}}{u_{y}} [/mm]
zu
[mm] \left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{(u_{xx}+u_{xy}\bruch{dy}{dx})u_{y}-u_{x}(u_{yx}+u_{yy}\bruch{dy}{dx})}{u_{y}^{2}} [/mm]
bzw. wie ist der Rechenweg?
Für Eure Hilfe vielen Dank im Voraus!!!
Vg David
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo davidfk,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen,
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> dies ist meine erste Frage in diesem Forum, ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
> Ich hoffe ihr könnt mir mit Tipps, Lösungen oder auch nur
> Denkanstößen weiterhelfen!
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> Es geht um die partielle Ableitung einer allgemeinen
> Funktion mit zwei Variablen (Hintergrund: es handelt sich
> um eine Indifferenzkurve aus der Mikroökonomie). Gegeben
> ist die Funktion [mm]u(x,y) [/mm], für die gelte, dass das totale
> Differential gleich 0 ist:
> [mm]du=u_{x}dx+u_{y}dy=0 [/mm].
> ([mm] u_{x}[/mm] ist die partielle Ableitung von [mm]u[/mm] nach [mm]x[/mm]).
> Durch Umstellung der letztgenannten Gleichung erhält man
> den Zusammenhang
> [mm]\left.\bruch{dy}{dx}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{x}}{u_{y}}[/mm]
> (Hintergrund: Die Gleichung gibt die Steigung der Kurve in
> der x-y-Ebene an)
> Die letztgenannte Gleichung noch einmal nach [mm]x[/mm] abgeleitet
> ergibt:
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> [mm]\left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{(u_{xx}+u_{xy}\bruch{dy}{dx})u_{y}-u_{x}(u_{yx}+u_{yy}\bruch{dy}{dx})}{u_{y}^{2}}[/mm]
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> Meine Frage ist nun, wie ich zu der letztgenannten
> Gleichung gelange. Die Quotienten- und Kettenregel kann ich
> für spezielle Funktionen anwenden, jedoch weiß ich nicht,
> wie ich es in diesem Fall (bei einer allgemeinen Funktion)
> machen muss. Wenn ich nach meiner Logik die Quotientenregel
> anwende, komme ich zu folgendem (falschen!) Ergebnis:
> [mm]\left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{xx}u_{y}-u_{xy}u_{x}}{u_{y}^{2}} [/mm].
> Offensichtlich muss auch die Kettenregel angewandt werden,
> jedoch hat mich keiner meiner Versuche zu dem richtigen
> Ergebnis geführt.
>
> Meine konkrete Frage lautet also: Wie gelange ich von
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> [mm]\left.\bruch{dy}{dx}\right|_{du=0}=-\bruch{u_{x}}{u_{y}}[/mm]
>
> zu
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> [mm]\left.\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{(u_{xx}+u_{xy}\bruch{dy}{dx})u_{y}-u_{x}(u_{yx}+u_{yy}\bruch{dy}{dx})}{u_{y}^{2}}[/mm]
>
> bzw. wie ist der Rechenweg?
Zunächst kannst Du wie gewohnt die Quotientenregel anwenden:
[mm]\left \bruch{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{du=0}=-\bruch{\bruch{d u_{x}}{dx}*u_{y}-u_{x}*\bruch{d u_{y}}{dx}}{u_{y}^{2}}[/mm]
Für die Ableitungen [mm]\bruch{d u_{x}}{dx}}, \ \bruch{d u_{y}}{dx}}[/mm] gilt
nach der verallgemeinerten Kettenregel:
[mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial x}+\bruch{\partial u_{x}}{\partial y}*\bruch{dy}{dx}=u_{xx}+u_{xy}*\bruch{dy}{dx}[/mm]
[mm]\bruch{\partial u_{y}}{\partial x}+\bruch{\partial u_{y}}{\partial y}*\bruch{dy}{dx}=u_{yx}+u_{yy}*\bruch{dy}{dx}[/mm]
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> Für Eure Hilfe vielen Dank im Voraus!!!
> Vg David
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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