Part. Ableitung m. Kettenregel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 30.05.2005 | | Autor: | QCO |
Meine Aufgabe lautet:
g sei eine differenzierbare Funktion auf R. Es sei f(x; y) := [mm] xy+x*g(\bruch{y}{x}); x\not=0.
[/mm]
Man beweise: [mm] x*f_{x} [/mm] + [mm] y*f_{y} [/mm] = x*y + f für (x;y) aus [mm] \IR^{2} [/mm] ; [mm] x\not=0.
[/mm]
Eigentlich sieht das ganz leicht aus, aber irgendwie haut es bei mir nicht hin.
Die partiellen Ableitungen sind ja
[mm] f_{x}=y+g(\bruch{y}{x})+x*\bruch{\partial}{\partial x} g(\bruch{y}{x}) [/mm] und
[mm] f_{y}=x+x*\bruch{\partial}{\partial y} g(\bruch{y}{x})
[/mm]
Damit ist [mm] x*f_{x}+y*f_{y}=xy [/mm] + [mm] x*g(\bruch{y}{x}) [/mm] + [mm] x^{2}*\bruch{\partial}{\partial x} g(\bruch{y}{x}) [/mm] + [mm] x*y*\bruch{\partial}{\partial y} g(\bruch{y}{x})
[/mm]
was ja irgendwie ungleich der Behauptung ist, oder?
Habe ich hier einen Fehler in meiner Rechnung, oder sehe ich am Ende bloß den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo QCO!
> g sei eine differenzierbare Funktion auf R. Es sei f(x; y)
> := [mm]xy+x*g(\bruch{y}{x}); x\not=0.[/mm]
> Man beweise: xf + yf =
> xy + f für (x;y) aus [mm]\IR^{2}[/mm] ; [mm]x\not=0.[/mm]
Wie genau muss das lauten?
Unten berechnest du nämlich:
[mm] $xf_x+yf_y$...
[/mm]
Was ist denn jetzt gemeint? Und wie genau soll die rechte Seite lauten?
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber QCO
ich weiss jetzt nicht, nach welchen Regeln du die Partiellen Ableitungen bildest. Ich bin nach wie vor der Meinung, dass man auch hier die Regel "innere Ableitung mal äussere Ableitung" verwenden sollte.
Und dann gibt sich nach einer Rechnung folgendes:
[mm] $f(x,y)=xy+x*g(\bruch{y}{x})$
[/mm]
[mm] $f_x=y+g(\bruch{y}{x})+x*g'(\bruch{y}{x})*(-\bruch{y}{x^2})=y+g(\bruch{y}{x})-\bruch{y}{x}*g'(\bruch{y}{x})$
[/mm]
[mm] $f_y=x+x*g'(\bruch{y}{x})*\bruch{1}{x}=x+g'(\bruch{y}{x})$
[/mm]
Und jetzt ergibt sich die Identität wie von alleine. 
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Achte in Zukunft bitte darauf, die Frage etwas sorgfältiger einzutippen. Es ist dadurch allen geholfen! Du hast ja die Möglichkeit, als Autor eines Artikels diesen nachträglich noch zu editieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 30.05.2005 | | Autor: | QCO |
Erstmal vielen Dank für die Antwort; während ich vorhin in der Vorlesung saß, fiel es mir dann plötzlich auch auf, was für einen Blödsinn ich da verzapft hatte.
Der Fehler in der Frage tut mir leid; ist wohl passiert, weil ich die Aufgabenstellung gleich aus dem Aufgaben-pdf kopiert hatte und dort vergessen hatte, die Sonderzeichen nachzubessern.
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