Part. Diffbar. Richtungsableit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo,
ich habe eine aufgabe mit der ich nicht klar komme. Die aufgabe lautet
Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gegeben durch:
f(x,y)= [mm] \bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] wenn (x,y) [mm] \not=(0,0)
[/mm]
0 wenn (x,y)=(0,0)
Zeigen Sie, dass f partiell di fferenzierbar in (0,0) ist, aber nicht alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.
Habe zum ersten teil eine musterlösung, die lautet:
Man muss schauen ob die Grenzwerte
[mm] \limes_{h\rightarrow\zero} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}
[/mm]
und
[mm] \limes_{h\rightarrow\zero} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}
[/mm]
(h geht gegen null)
existieren. Nun ist aber f(h,0)=f(0,0)=f(0,h) für alle h, weswgen die beiden obigen Grenzwerte existieren und den Wert 0 annehmen.
Wäre nett wenn mir das jemand genauer erklären könnte, da ich so gut wie nichts von diesem Beweis verstehe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe eine aufgabe mit der ich nicht klar komme. Die
> aufgabe lautet
> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch:
> f(x,y)= [mm]\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] wenn (x,y) [mm]\not=(0,0)[/mm]
> 0 wenn (x,y)=(0,0)
> Zeigen Sie, dass f partiell di fferenzierbar in (0,0) ist,
> aber nicht alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.
>
> Habe zum ersten teil eine musterlösung, die lautet:
> Man muss schauen ob die Grenzwerte
> [mm]\limes_{h\rightarrow\zero} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
> und
> [mm]\limes_{h\rightarrow\zero} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
> (h
> geht gegen null)
> existieren. Nun ist aber f(h,0)=f(0,0)=f(0,h) für alle h,
> weswgen die beiden obigen Grenzwerte existieren und den
> Wert 0 annehmen.
> Wäre nett wenn mir das jemand genauer erklären könnte,
> da ich so gut wie nichts von diesem Beweis verstehe.
Wir betrachten bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} für h [mm] \ne [/mm] 0
Schau Dir die Funktionsvorschrift an, dann siehst Du: f(h,0)=f(0,0)=0, somit ist
bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0 für jedes h [mm] \ne [/mm] o
und damit auch trivialerweise
[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
Genauso zeigt man:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Stift |
Ach so, ok. Vielen Dank für die hilfe.
Kann mir jemand sagen wie ich zeige dass keine richtungsableitung in (0,0) existiert, viell. an einem bsp.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach so, ok. Vielen Dank für die hilfe.
> Kann mir jemand sagen wie ich zeige dass keine
> richtungsableitung in (0,0) existiert, viell. an einem bsp.
Bleiben wir bei obigem f . Nimm die Richtung [mm] $v=\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1)$ [/mm] und zeige, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}
[/mm]
nicht existiert.
FRED
>
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Stift |
wie kommst du auf [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1,1)
und was ist t?
sorry ich blick da nicht so wirklich durch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Stift |
Ich habe es jetzt mal versucht.
[mm] f(x,y)=\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{1+1/\wurzel{2}-1+1/\wurzel{2}-xy/x^2+y^2}{t}
[/mm]
Ist das richtig??
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Hallo Stift,
> Ich habe es jetzt mal versucht.
> [mm]f(x,y)=\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{1+1/\wurzel{2}-1+1/\wurzel{2}-xy/x^2+y^2}{t}[/mm]
>
> Ist das richtig??
>
Leider nein.
Hier musst Du doch rechnen:
[mm]\limes_{t \rightarrow 0}\bruch{f\left(\bruch{t}{\wurzel{2}},\bruch{t}{\wurzel{2}}\right)-f\left(0,0\right)}{t}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo Stift,
> wie kommst du auf [mm]v=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (1,1)
Der Richtungsvektor v ist so gewählt worden,
daß dieser den Betrag 1 hat.
> und was ist t?
t ist eine Laufvariable, die alle Vielfachen des Richtungsvektors durchläuft.
> sorry ich blick da nicht so wirklich durch
Gruss
MathePower
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