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Forum "Integralrechnung" - Partialbr.-Zer. (dopp. Nullst)
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Partialbr.-Zer. (dopp. Nullst): konkrete Anwendung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 So 31.01.2010
Autor: mathey

Aufgabe
Bilden Sie eine Stammfunktion der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
ich habe extreme Verständnisprobleme bei der Partial-Bruch-Zerlegung, wenn eine doppelte Nullstelle der Fall ist. Bei einfachen Nullstellen komme ich zurecht.

Mein Ansatz zur Stammfunktion von [mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} [/mm]
ist wie folgt:

1.) Durch Polynomdivision umgeformt:

[mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}=(x^3+2x^2-7x):(x^2-2x+1)=x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2} [/mm]

daraus folgt für die Stammfunktion:

[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} dx}=\integral_{}^{}{(x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}) dx}=\integral_{}^{}{x dx}+\integral_{}^{}{4 dx}-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}x^2+4x-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx} [/mm]


Nun komme ich mit dem letzten Teil, dem   [mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx} [/mm]   nicht zurecht, da dies eine doppelte Nullstelle [mm] (x_{1,2}=1) [/mm] besitzt und ich nicht weiß, wie man dann die Partial-Bruch-Zerlegung anwendet.

Könnte mir jemand hierbei weiterhelfen ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Partialbr.-Zer. (dopp. Nullst): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 31.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo mathey und herzlich [willkommenmr],

> Bilden Sie eine Stammfunktion der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo,
>  ich habe extreme Verständnisprobleme bei der
> Partial-Bruch-Zerlegung, wenn eine doppelte Nullstelle der
> Fall ist. Bei einfachen Nullstellen komme ich zurecht.
>  
> Mein Ansatz zur Stammfunktion von
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}[/mm]
>  ist wie folgt:
>  
> 1.) Durch Polynomdivision umgeformt:
>  
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}=(x^3+2x^2-7x):(x^2-2x+1)=x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}[/mm]
>  
> daraus folgt für die Stammfunktion:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} dx}=\integral_{}^{}{(x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}) dx}=\integral_{}^{}{x dx}+\integral_{}^{}{4 dx}-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2}x^2+4x-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm] [ok]
>  
>
> Nun komme ich mit dem letzten Teil, dem  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm]   nicht zurecht, da
> dies eine doppelte Nullstelle [mm](x_{1,2}=1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

besitzt und ich

> nicht weiß, wie man dann die Partial-Bruch-Zerlegung
> anwendet.

PBZ bringt hier nix, das ist schon die PBZ ;-)

Der Ansatz bei einer doppelten reellen NST wäre: $\frac{x_0}{(x-x_N)^2}=\frac{A}{x-x_N}+\frac{B}{(x-x_N)^2}$

Hier kannst du es durch Hinsehen integrieren oder durch ne einfache lineare Substitution $z=z(x):=x-1$

Das führt dich auf ein Integral $\int{\frac{4}{z^2} \ dz}=4\cdot{}\int{z^{-2}} \ dz}$

Und das kannst du seit den Kindergartentagen integrieren ;-)

Denke an die Potenzregel $\int{u^{n} \ du}=\frac{1}{n+1}\cdot{}u^{n+1} \ (+C)$ für alle $n\in\IR, n\neq -1$

>  
> Könnte mir jemand hierbei weiterhelfen ?
>  
> Vielen Dank im Voraus.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Partialbr.-Zer. (dopp. Nullst): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 So 31.01.2010
Autor: mathey

Vielen Dank. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen wirklich nicht :)

Kam selbst gar nicht mehr auf die Idee, da eine Substitution anzuwenden.

Habe eben probehalber mal statt 4 im Zähler, 4x im Zähler genutzt, dann hilft mir dein Ansatz mit [mm] \bruch{A}{x-x_{0}}+\bruch{B}{(x-x_{0})^2} [/mm] ... denn dann komme ich auch wieder auf eine reelle Zahl im Zähler, wobei die Substitution wieder weiterhilft.

Danke nochmal.

Gruß mathey

Bezug
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