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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 18.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | | Lösen sie das Integral mithilfe einer Partialbruchzerlegung [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-2 x^3+2 x^2-15}{(x-1)^2 (x^2+2 x+2)}dx} [/mm] |
Hallo,
Ich hab das jetzt mal streng nach Formel und Skript durchgeführt aber ich habe noch ein paar Verständnisprobleme.
Hier erstmal meine Zerlegung:
[mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{C}{x^2+2x+2}
[/mm]
Hier schon meine erste Frage: Warum zerlege ich den Bruch nicht in zwei Brüche:
[mm] \bruch{\alpha}{(x-1)^2}+\bruch{\beta}{x^2+2x+2}
[/mm]
sondern in drei?
Wenn ich das jetzt auflösen möchte dann mache ich ja einen Koeffizientenvergleich bzw. ich setzte werte für x ein bei denen ich dan hoffentlich Zahl=A oder B oder C stehen habe.
WolframAlpha zerlegt mir das aber so:
[mm] \bruch{a_{4}+a_{3}x}{x^2+2x+2}+\bruch{a_2}{x-1}+\bruch{a_1}{(x-1)^2}
[/mm]
Warum habe ich im Zähler vom ersten Term jetzt auf einmal [mm] a_{4}+a_{3}x [/mm] und nicht nur einen Koeffizienten?
Über ein wenig Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 18.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Hier schon meine erste Frage: Warum zerlege ich den Bruch
> nicht in zwei Brüche sondern in drei?
Das liegt an der doppelten Nullstelle.
Und das wie ich dir das mit dem C+Dx erklären soll, weiß ich gerade leider nicht. Aber das gilt immer, sobald du im Nenner eine quadratische Gleichung stehen hast. Wahrscheinlich liegt das auch wieder an den mehreren Möglichkeiten für die Nullstelle. Aber vllt kann hier ja noch jemand Anderes helfen :)
[mm] \bruch{-2 x^3+2 x^2-15}{(x-1)^2 (x^2+2 x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-1)²} [/mm] + [mm] \bruch{C+Dx}{x²+2x+2}
[/mm]
<=> -2x³+2x²-15 = A*((x-1)(x²+2x+2)) + B*(x²+2x+2) +(C+Dx)*(x-1)²
<=> -2x³+2x²-15 = A(x³+2x²+2x-x²-2x-2)+B*(x²+2x+2) +(C+Dx)*(x²-2x+1)
<=> -2x³+2x²-15 = A(x³+x²-2)+B*(x²+2x+2)+C(x²-2x+1)+D(x³-2x²+x)
<=> -2x³+2x²-15 = (A+D)*x³ + x²(A+B-2C-2D) + x(2B-2C+2D) -2A+2B+C
=>
-2 = A+D
2 = A+B-2C-2D
0 = 2B-2C+2D
-15 = -2A+2B+C
Das kann man jetzt als lineares Gleichungssystem lösen.
Ich hoffe, dass ich mich jetzt nirgendwo verrechnet habe. Habe heute schon 8h Uni und mehrere Stunden Übungsblatt hinter mir :)
Das Prinzip ist aber immer das Gleiche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke!
Das hat mir heute beim vorrechnen wirklich geholfen. Volle Punktzahl! Leider konnte mein Übungsleiter mir auch nicht sagen warum ich eine doppelte Nullstelle in zwei Faktoren aufspalte und warum ich Cx+D und nicht nur einen Koeffizienten über dem [mm] X^2 [/mm] polynom stehen habe.
Vielleicht stößt ja nochmal jemand auf meine Frage und weiß eine Antwort.
LG
Rzeta
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Wenn es eine Teil-Lösung
[mm] \bruch{A}{x-a}+\bruch{B}{(x-a)^2} [/mm] gibt, kannst du sie in
[mm] \bruch{A(x-a)}{(x-a)^2}+\bruch{B}{(x-a)^2}= \bruch{Ax-Aa+B}{(x-a)^2} [/mm] verwandeln.
Du erhältst damit einen komplizierteren Zähler an Stelle von zwei einfachen, wobei du die beiden einfachen auch einfacher integrieren kannst. (Gibt A*ln(x-a) - [mm] \bruch{B}{x-a}.)
[/mm]
Grundsätzlich kann der Bruch so aussehen, dass das Zälerpolynom nur einen Grad kleiner als das Nennerpolynom ist, womit auch deine zweite Frage (ohne Erklärung) beantwortet ist.
Warum kann der Grad vom Zähler nicht größer als der vom Nenner sein? Erklärung am Beispiel:
[mm] \bruch{2*x^2-x+3}{x^2+1} [/mm] führt mit Hilfe der Polynomdivision zu
...= [mm] 2+\bruch{-x+1}{x^2+1}, [/mm] hat also einen ganzrationalen Anteil (hier 2), und dann müsste die Ausgangsfunktion diesen Anteil auch schon gehabt haben. Den hätte man dann aber für die Integration schon - ebenfalls durch Polynomdivision - vorher abgespalten und gesondert integriert.
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