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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mi 05.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | | $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}\cdot{} dx} [/mm] $ |
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}\cdot{} dx} [/mm] $
OK, hier ist die PBZ gefragt.
bzw. Nullstellen des Nenners: auf anhieb sieht man hier x=0 ist eine bzw eine doppelte?
ich kann diese PBZ regel nicht ganz follgen wenn ich eine doppelte NST. habe
z.B. doppelte NST.: x= 1 => (x-1)
also die PBZ wäre hier [mm] \bruch{A1}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{(x-1)^2}
[/mm]
aber wenn ich eine doppelte nullstelle bei x=0 habe ?
wäre hier die PBZ [mm] \bruch{A1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{x^2} [/mm] ???
wenn das obere stimmt wäre in dem BSP die vollständige PBZ
[mm] $\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}=\bruch{A1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{(x^2+1)}$
[/mm]
[mm] $(x^2+1)$ [/mm] ist ein irreduzierbares Polynom deswegen die Bx+C schreibweise.
ist es bis hier richtig ?
zuerst den Hauptnenner des rechten teils.
[mm] \bruch{A1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{(x^2+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A1x(x^2+1) + A2(x^2+1) + (Bx+C)*x^2}{(x^2+1)*x^2}
[/mm]
zähler = zähler ...
Dann muss man noch A1,A2,B,C bestimmen, unter verwendung der nullstellen, oder was anderem was passen würde.
(x-1) = [mm] A1x*(x^2+1) [/mm] + [mm] A2*(x^2+1) [/mm] + [mm] (Bx+C)*x^2
[/mm]
x=0 => -1 = 0 + A2 + 0 => A2 = -1
aber ich finde keine werte mit denen ich hier weiter machen kann.
wenn meine vorgehensweise stimmt, wie sollte man an dieser stelle weiter machen ?
mfg
masa
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Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}\cdot{} dx}[/mm]
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}\cdot{} dx}[/mm]
> OK,
> hier ist die PBZ gefragt.
>
> bzw. Nullstellen des Nenners: auf anhieb sieht man hier x=0
> ist eine bzw eine doppelte?
> ich kann diese PBZ regel nicht ganz follgen wenn ich eine
> doppelte NST. habe
>
> z.B. doppelte NST.: x= 1 => (x-1)
>
> also die PBZ wäre hier [mm]\bruch{A1}{(x-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{A2}{(x-1)^2}[/mm]
>
> aber wenn ich eine doppelte nullstelle bei x=0 habe ?
>
> wäre hier die PBZ [mm]\bruch{A1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{A2}{x^2}[/mm] ???
>
>
> wenn das obere stimmt wäre in dem BSP die vollständige PBZ
>
> [mm]\bruch{1-x}{x^2(x^2+1)}=\bruch{A1}{x} + \bruch{A2}{x^2} + \bruch{Bx+C}{(x^2+1)}[/mm]
>
> [mm](x^2+1)[/mm] ist ein irreduzierbares Polynom deswegen die Bx+C
> schreibweise.
>
> ist es bis hier richtig ?
Jawohl, richtig.
>
> zuerst den Hauptnenner des rechten teils.
>
> [mm]\bruch{A1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{A2}{x^2}[/mm] + [mm]\bruch{Bx+C}{(x^2+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A1x(x^2+1) + A2(x^2+1) + (Bx+C)*x^2}{(x^2+1)*x^2}[/mm]
>
> zähler = zähler ...
>
> Dann muss man noch A1,A2,B,C bestimmen, unter verwendung
> der nullstellen, oder was anderem was passen würde.
>
> (x-1) = [mm]A1x*(x^2+1)[/mm] + [mm]A2*(x^2+1)[/mm] + [mm](Bx+C)*x^2[/mm]
>
> x=0 => -1 = 0 + A2 + 0 => A2 = -1
Oben hattest Du gesagt, der Zähler deiner Funktion heißt
(1-x) = [mm]A1x*(x^2+1)[/mm] + [mm]A2*(x^2+1)[/mm] + [mm](Bx+C)*x^2[/mm]
Demnach
x=0 => 1 = 0 + A2 + 0 => A2 = 1
> aber ich finde keine werte mit denen ich hier weiter machen
> kann.
> wenn meine vorgehensweise stimmt, wie sollte man an dieser
> stelle weiter machen ?
Jetzt nimmst Du einfach drei weitere ganz beliebige Zahlen, die Du nacheinander für x einsetzt, praktischerweise möglichst klein, so z. B.
-1,1,2 oder 1,2,3 oder...
Dann bekommst ein LGS mit 4 Gleichungen für deine 4 Variablen.
LG, Martinius
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