Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Es soll auf folgende Funktion die Partialbruchzerlegung angewandt werden:
[mm] I(x)=\integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-6x²-20x-1}{x²-2x-8} dx} [/mm] |
Zuerst sorge ich dafür, dass der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, dies mache ich mit der Polynomdivision. Am Ende habe ich Folgendes stehen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-6x²-20x-1}{x²-2x-8} dx}=\integral_{}^{}{3x+\bruch{4x-1}{x²-2x-8} dx}. [/mm] Danach ermittel ich die Nullstellen des Nenners, diese sind bei [mm] x_{1}=-2 [/mm] und [mm] x_{2}=4.
[/mm]
[mm] 3x+\bruch{4x-1}{x²-2x-8}=3x+\bruch{4x-1}{(x+2)*(x-4)}=3x+\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-4}.
[/mm]
Jetzt schreibe ich es um:
A*(x-4)+B*(x+2)=4x-1
Nun ermittel ich die Koeffizienten des x:
[mm] x^{1} [/mm] | A+B=4
[mm] x^{0} [/mm] | -4A+2B=-1
A=1.5 und B=2.5 Nun würde ich gerne wissen, ob es so richtig wäre oder müsste ich die 3x mit einbeziehen? In dem Fall wäre das Gleichungssystem
[mm] x^{1} [/mm] | 3+A+B=4
[mm] x^{0} [/mm] | -4A+2B=-1
A=1.5 und B=1.5
Meine zweite Frage ist Folgende: Wenn ich rechts vom Gleichheitszeichen einen Grad vom x hätte, welcher größer wäre als der Grad vom x links vom Gleichheitszeichen, z.B. A*(x-4)+B*(x+2)=3x³-6x²-20x-1, dann müsste ich für das Erstellen des Gleichungssystems doch weder die x² noch die x³ berücksichtigen, oder? Denn ich habe ja zwei Unbekannte und bräuchte somit nur zwei Gleichungen, d.h. ich könnte doch schreiben:
[mm] x^{1} [/mm] | A+B=-20
[mm] x^{0} [/mm] | -4A+2B=-1
Wäre es so richtig?
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Einen schönen guten Abend.
zur ersten Frage: nein die $3x$ haben mit der Partialbruchzerlegung nichts zu tun Allerdings hat sich in deine Polynomdivision ein Fehler eingeschlichen. Wenn ich [mm] \bruch{x^{3}-6x²-20x-1}{x²-2x-8} [/mm] mit Polynomdivision zerlege komme ich auf [mm] $x-4-\bruch{20x+33}{x^2-2x-8}$
[/mm]
Rechne das nochmal nach.
Gesucht ist dann [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-6x²-20x-1}{x²-2x-8} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x-4-\bruch{20x+33}{x^2-2x-8} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx}-\integral_{}^{}{4 dx}-\integral_{}^{}{\bruch{20x+33}{x^2-2x-8} dx}. [/mm] Die ersten Beiden Integral sind leicht zu lösen beim Letzten integral musst du Partialbruchzerlegung machen. Die Nullstellen des Nenners hast du richtig ermittelt. Dein ansatz stimmt auch. Jetzt das A und B bestimmen und dann über den [mm] \ln [/mm] integrieren.
Zu deiner Zweiten Frage: beim zählerpolynom müssen alle auftretenden Potenzen von x berücksichtigt werden. Es muss dann möglicherweise ein anderer Partialbruchansatz gewählt werden
Einen schönen Abend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort, ich habe soweit alles verstanden.
Einen schönen Abend noch
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