www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Rationale Funktionen" - Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Rationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Fr 09.04.2004
Autor: dancingestrella

Hallo,

ich bin heute auf eine Funktion f mit f(x)= [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm]
gestoßen.
Die wollte ich integrieren.
Die funktion hat mich angelächelt und mir "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.
Also meine Rechnung lautet:
[mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = [mm] A/(x+1)^2 [/mm] + B/(x+1)
den rechten Term habe ich auf einen Nenner gebracht:
[mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = ( A(x+1) + [mm] B(x+1)^2 [/mm] ) / [mm] (x+1)*(x+1)^2 [/mm]

Meine Frage ist jetzt, ob ich den linken Term, "angleichen" soll, d.h. ihn mit (x+1) erweitern, damit er denselben Nenner wie mein linker Term hat. Dann taucht aber das Problem auf, dass beim Koeffizientenvergleich folgendes steht:
[mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = Ax + A + [mm] Bx^2 [/mm] + 2Bx + B

Bishierhin richtig?
Ich denke nicht, wenn im Koeffizientenvergleich müsste im rechten Term auf was mit ^3 stehen, tut es nicht.

Wenn ich nicht mit (x+1) erweiter bringt es mir auch nichts, denn
dann lautet der Koeffizientenvergleich:
[mm] x^2 [/mm] = Ax + A + [mm] Bx^2 [/mm] + 2Bx + B
Damit müsste A=0 sein und B=1, aber für b=1 erhalte ich auch noch die Konstante 1...
Das kann also auch nicht richtig sein. Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt???

dancing estrella

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Fr 09.04.2004
Autor: Stefan

Liebe dancingestrella!

> ich bin heute auf eine Funktion f mit f(x)= [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] gestoßen.
>  Die wollte ich integrieren.
>  Die funktion hat mich angelächelt und mir
> "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.

Aha, und daraufhin hast du dich also um die Funktion gekümmert.  Diese Anmache müsste ich mir glatt merken, wenn ich noch auf der Suche wäre. ;-)

>  Also meine Rechnung lautet:
>  [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = [mm] A/(x+1)^2 [/mm] + B/(x+1)
>  den rechten Term habe ich auf einen Nenner gebracht:
>  [mm] (x^2)/(x+1)^2 [/mm] = ( A(x+1) + [mm] B(x+1)^2 [/mm] ) / [mm] (x+1)*(x+1)^2 [/mm]

Mach es so:

[mm]\frac{x^2}{(x+1)^2} = \frac{A + B(x+1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2}[/mm].

Das sollte funktionieren... (Auch wenn ich es jetzt nicht ausprobiert habe.)Melde dich mal mit einem Lösungsvorschlag.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Sa 10.04.2004
Autor: Paulus

Hallo dancing estrella

> Hallo,
>  
> ich bin heute auf eine Funktion f mit [mm]f(x)= (x^2)/(x+1)^2[/mm]
>  gestoßen.
>  Die wollte ich integrieren.
>  Die Funktion hat mich angelächelt und mir
> "Partialbruchzerlegung" zugeflüstert.

Du solltest nicht gleich so unvorbereitet auf ein freundliches Lächeln hereinfallen.  Die Idee Partialbruchzerlegung ist zwar nicht falsch, aber verfrüht.
Merke dir: die Partialbruchzerlegung geht nur, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als jener des Nennerpolynoms. In vorliegendem Falle sind aber beide gleich, nämlich 2.

Es braucht also noch eine kleine Vorbereitung: du musst Zähler durch Nenner ausdividieren, bis beim Dividieren eine konstante Zahl entsteht (also nicht mehr x hoch irgendwas). Als letzten Summanden deines ausgerechneten Quotienten schreibst du einfach noch den "Rest der Division" geteilt durch den Nenner hin.

Bei deinem Beispiel, damit meine verworrene Erklärung vielleicht klar wird:

dividiere [mm] x^2 [/mm] durch [mm] (x^2+2x+1), [/mm] dies ergibt:

[mm]x^2 : (x^2+2x+1) = 1 + \bruch {-2x-1} {(x+1)^2} = 1 - \bruch {2x+1} {(x+1)^2}[/mm]

(Die alleinstehende 1 auf der rechten Seite ist die weiter oben angesprochene konstante Zahl).

Jetzt kannst du so vorgehen:

[mm]\int (1 - \bruch {2x+1} {(x+1)^2}) \, dx [/mm] = [mm]x - \int { \bruch {2x+1} {(x+1)^2} }\, dx [/mm]

das verbleibende Integral rechterhand lächelt dir jetzt ohne tückische Hintergedanken zu! ;-) Vergiss aber im Falle des unbestimmten Integrals bitte die Integrationskonstante nicht. Ich schreibe sie jeweils wegen akuter Schreibfaulheit nicht hin.

Vielleicht noch ein anderes Beispiel: hätte deine lächelnde Funktion z.B. [mm]\bruch {x^3} {(x+1)^2} [/mm] geheissen, so hätte das Ausdividieren folgendes ergeben:
[mm]x - 2 + \bruch {x+2} {(x+1)^2}[/mm]

Das ist natürlich falsch (und niemand hats gemerkt (nachgerechnet?)
Richtig ist natürlich:
[mm]x - 2 + \bruch {3x+2} {(x+1)^2}[/mm]

Alles klar? Wenn nicht, meldest du dich halt wieder!

Viele Grüsse



Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 13.04.2004
Autor: dancingestrella

Hallo!

Danke für den Tipp mit der Polynomdivision.
Im weiteren habe ich dann f noch anders umschrieben, nämlich mit:
f(x)= 1 - [mm] (2x+2)/(x^2+2x+1) [/mm] - [mm] 1/(x^2+2x+1) [/mm]
Das hat den Vorteil, dass im zweiten Term im Zähler die Ableitung des Nenners steckt und im dritten Term der Zähler konstant ist. So erspare ich mir die Partialbruchzerlegung.
F(x)= x - [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm] - 1/(2x+2) [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm]
ich denke so müsste es richtig sein. Vielen Dank für die Hilfe!
dancingestrella

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Di 13.04.2004
Autor: Paulus

Hallo dancing estrella

> Hallo!
>  
> Danke für den Tipp mit der Polynomdivision.

Gern geschehen!

>  Im weiteren habe ich dann f noch anders umschrieben,
> nämlich mit:
>  f(x)= 1 - [mm] (2x+2)/(x^2+2x+1) [/mm] - [mm] 1/(x^2+2x+1) [/mm]

[ok] Das ist eine sehr gute Idee. Es ist generell so, dass man vor der Partialbruchzerlegung zuerst nach anderen Möglichkeiten Ausschau halten soll,
und dazu ist die Formel [mm]\int{\bruch{f'(x)}{f(x)} \, dx}=\ln{|f(x)|}[/mm]
sehr oft nützlich!

>  Das hat den Vorteil, dass im zweiten Term im Zähler die
> Ableitung des Nenners steckt und im dritten Term der Zähler
> konstant ist. So erspare ich mir die
> Partialbruchzerlegung.
>  F(x)= x - [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm] - 1/(2x+2) [mm] ln(x^2+2x+1) [/mm]

Da bin ich nicht mehr gleicher Meinung. Mit dem ersten Term zwar schon, mit dem 2. Term nur, sofern du vorher wirklich getestet hast, ob auf die Absolutbetrags-Striche verzichtet werden kann. (Dies kann man hier tatsächlich, weil ja [mm] x^2+2x+1 = (x+1)^2[/mm], also als Quadrat einer Zahl [mm]\geqq 0[/mm] ist!
Vielleicht könnte man ihn noch umformen, weil ja [mm]\ln {a^n} = n*\ln{a}[/mm] gilt. Also: [mm]ln(x^2+2x+1) = 2*\ln{|x+1|}[/mm]

Für den 3. Term würde ich allerdings nicht mehr die Hand ins Feuer legen!

Ich denke, es gilt [mm]\int{\bruch{1}{x^2+2x+1} \, dx} = \int{\bruch{1}{(x+1)^2} \, dx} = \bruch{-1}{x+1} + Const[/mm]

Wie gesagt, sollte beim unbestimmten Integral ganz am Schluss der Berechnungen noch eine Integrationskonstante addiert werden.

Viele herzliche Grüsse


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Rationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de