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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 05.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Bestimmen sie das Integral mittels einer Partialbruchzerlegung.
[mm] \int\frac{6x-2}{x^3+6x^2+11x+6}\,dx [/mm] |
Bei der Aufgabe habe ich angefangen die Nullstellen zu bestimmen.
Durch Raten habe ich eine bei x=-1 und durch Polynomdivision und anschliessendes Nutzen der pq-Formel habe ich noch zwei weitere Nullstellen bei x=-2 und bei x=-3.
Meine Partialbruchzerlegung sieht nun so aus:
[mm] \frac{6x-2}{x^3+6x^2+11x+6}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 6x-2=A*(x+2)*(x+1)+B*(x+3)*(x+1)+C*(x+3)*(x+2)
Um die Koeffizienten A,B und C zu bestimmen habe ich dann die Nullstellen x=-3 und x=-2 eingesetzt und habe dann
A=-10 und B=14
Jetzt weiss ich irgendwie nicht, wie ich ganz leicht auf C komme.
Mein Tutor hatte bei einer Aufgabe 4 Koeffizienten berechnet und hatte dann für einen Koeffizienten einen beliebigen Wert eingesetzt. Mache ich das hier auch?
Und wenn nicht, wann darf ich das dann machen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 So 05.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Leider musst du das ein wenig ausmultiplizieren.
Also:
$ [mm] \frac{6x-2}{x^3+6x^2+11x+6}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1} [/mm]
Die Partialbruchzerlegung ist völlig okay.
Aber jetzt multipliziere aus, also:
A(x+2)(x+1)+B(x+3)(x+1)+C(x+3)(x+2)
=A(x²+3x+2)+B(x²+4x+3)+C(x²+5x+6)
=Ax²+3Ax+2A+Bx²+4Bx+3B+Cx²+5Cx+6C
=(A+B+C)x²+(3A+4B+5C)x+(2A+3B+6C)
Und jetzt vergleiche mit dem Zähler,also 0x²+6x-2, somit erhältst du folgendes LGS:
[mm] \vmat{A+B+C=0\\3A+4B+5C=6\\2A+3B+6C=-2}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 05.07.2009 | | Autor: | equity |
Dann könnte ich doch einfach die Ergebnisse für A und für B in das LGS einsetzen und bekomme dann C=-4
Das geht ja dann ganz einfach.
Danke :O)
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Hallo equity,
> Dann könnte ich doch einfach die Ergebnisse für A und
> für B in das LGS einsetzen und bekomme dann C=-4
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das geht ja dann ganz einfach.
>
> Danke :O)
Gruß
MathePower
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