Partialbruchzerlegung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo ;)
Ich habe mal wieder ein kleines Problem. Es geht um Partialbruchzerlegung.
Ich habe zwei rationale Funktionen:
a) [mm] \bruch{2x-1}{x²-x-1} [/mm] und b) [mm] \bruch{ x^{7}+2x + 1}{x^{4}+2x²+1}
[/mm]
Für die soll ich in eine reele und komplexe Partialbruchzerlegung bestimmen.
bei b) habe ich erstmal Polynomdivision gemacht und bekam:
[mm] \bruch{ x^{7}+2x + 1}{x^{4}+2x²+1} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{ 2x^{5}+x^{3} + 2x + 1}{x^{4}+2x²+1}
[/mm]
[mm] x^{3} [/mm] ist ja der Nebenteil und der Bruch der Haupteil. Jetzt wollte ich das Nennerpolynom des Hauptteils komplett Faktorisieren über [mm] \IC [/mm] .
Aber da scheitert es irgendwie schon. Ich kenne mich überhaupt nicht mit komplexen Zahlen aus.
Bei der a) weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll. Ich kann ja nichtmal ne Polynomdivision machen. Oder brauch ich die dann gar nicht und habe halt nur nen Hauptteil? Aber wie sieht dann für den Nenner die Faktorisierung über [mm] \IC [/mm] aus?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
MFG Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Becks,
wenn du schon mit einer Polynomdivisionarbeitest, dann doch direkt mit
[mm] $\frac{x^7+2x+1}{x^4+2x^2+1}=x^3-2x+\frac{3x^3+4x+1}{x^4+2x^2+1}$.
[/mm]
Und in [mm] $x^4+2x^2+1$ [/mm] ist die Binomische Formel ja nun wirklich nicht gut versteckt - und dann läßt es sich doch recht leicht faktorisieren.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Becks |
$ [mm] \frac{x^7+2x+1}{x^4+2x^2+1}=x^3-2x+\frac{3x^3+4x+1}{x^4+2x^2+1} [/mm] $
ja das stimmt. Das ist mir auch klar. :) hatte das zweite nur vergessen.
und [mm] x^{4}+2x²+1 [/mm] = (x²+1)²
das habe ich auch rausgefunden. :) Aber wie ist das komplex?
ist das (z-i)(z+i) ?
und wie geht das weiter?
und wie fange ich bei a an?
Ich weiß ich stelle viele Fragen, aber ich werde aus meinen Vorlesungsmitschriften nicht so schlau...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Becks!
Bei Aufgabe a.) mußt Du Dir zunächst alle Nullstellen des Nenners (reelle und komplexe Lösungen) ermitteln, damit Du dann mit der Partialbruchzerlegung weitermachen kannst.
> [mm]\frac{x^7+2x+1}{x^4+2x^2+1}=x^3-2x+\frac{3x^3+4x+1}{x^4+2x^2+1}[/mm]
>
> ja das stimmt. Das ist mir auch klar. :) hatte das zweite
> nur vergessen.
>
> und [mm]x^{4}+2x²+1[/mm] = (x²+1)²
> das habe ich auch rausgefunden. :) Aber wie ist das komplex?
> ist das (z-i)(z+i) ?
Fast: [mm] $\left(x^2 + 1\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[(\red{x}-i)*(\red{x}+i)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] (x-i)^2 [/mm] * [mm] (x+i)^2$
[/mm]
Wir habe also ermittelt:
[mm]\frac{x^7+2x+1}{x^4+2x^2+1} \ = \ x^3-2x+\frac{3x^3+4x+1}{x^4+2x^2+1} \ = \ x^3-2x+\frac{3x^3+4x+1}{(x-i)^2 * (x+i)^2} [/mm]
Nun geht es los mit der Partialbruchzerlegung.
[mm] $\frac{3x^3+4x+1}{(x-i)^2 * (x+i)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{A}{(x-i)} [/mm] + [mm] \frac{B*x+C}{(x-i)^2} [/mm] + [mm] \frac{D}{(x+i)} [/mm] + [mm] \frac{E*x+F}{(x+i)^2}$
[/mm]
Diese Summe der Brüche mußt Du nun zusammenfassen und anschließend über einen Koeffizientenvergleich bei den beiden Zählerpolynomen die bisher unbekannten Koeffizienten $A$ ... $F$ bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Becks |
$ [mm] \frac{3x^3+4x+1}{(x-i)^2 \cdot{} (x+i)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{A}{(x-i)} [/mm] + [mm] \frac{B\cdot{}x+C}{(x-i)^2} [/mm] + [mm] \frac{D}{(x+i)} [/mm] + [mm] \frac{E\cdot{}x+F}{(x+i)^2} [/mm] $
Ach so! Wobei (x-i), (x-i)² usw die Nullstellen des Nennerpolynoms sind oder?
Aber was im Zähler steht verstehe ich noch nicht so ganz.
Warum steht denn beim zweiten Bruch B*x + C? Warum nicht nur B?
Und der Hauptnenner, ist das dann nicht wieder (x-i)² * (x+i)²?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Becks |
ok! Ist mir jetzt sehr viel klarer geworden! Vielen Dank! Ich versuche das jetzt mal auszurechnen. :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Becks
Auf die Gefahr hin, dass ich von Loddar gleich gesteinigt werde: ich glaube, er hat für dieses Mal nicht recht.
Nach meiner Interpretation der Theorie gilt dieser Ansatz:
[mm] $\frac{3x^3+4x+1}{(x-i)^2*(x+i)^2}=\frac{A}{(x-i)} [/mm] + [mm] \frac{B}{(x-i)^2}+\frac{C}{(x+i)}+\frac{D}{(x+i)^2}$
[/mm]
Bei der reellen Partialbruchzerlegung hingegen:
[mm] $\frac{3x^3+4x+1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1} [/mm] + [mm] \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$
[/mm]
Mit der Lösung:
[mm] $\frac{3x^3+4x+1}{(x^2+1)^2}=\frac{3x}{x^2+1}+\frac{x+1}{(x^2+1)^2}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Beck
ich habe nun ein Bisschen herumgerechnet und denke, dass mein Ansatz schon stimmt:
ich habe erhalten:
[mm] $\bruch{3x^2+4x+1}{(x^2+1)^2}=\bruch{1}{4}*(\bruch{6-i}{x-i}+\bruch{-1-i}{(x-i)^2}+\bruch{6+i}{x+i}+\bruch{-1+i}{(x+i)^2})$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Di 17.05.2005 | | Autor: | Becks |
Also ich habe jetzt lange gerechnet und kam zu folgenden Ergebnis:
[mm] \bruch{3x^{2}+4x+1}{(x^2+1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{5}{4}- \bruch{i}{4}}{x-i}+ \bruch{\bruch{-1}{2}}{(x-i)^{2}}+\bruch{ \bruch{7}{4}+ \bruch{i}{4}}{x+i}+\bruch{ \bruch{1}{2}*i}{(x+i)^{2}}
[/mm]
kann das einer von euch bestätigen? Bitte! :)
und wie bekomme ich davon jetzt die reele Zerlegung?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Becks
ich habe auch lange gerechnet!
Du kannst dein Ergebnis kontrollieren, wenn du alles gleichnamig machst und auf einen Bruch nimmst. Ich habe das bei meiner Lösung gemacht und bin deshalb überzeugt, dass meine Lösung stimmt.
Bezüglich reeller Zerlegung kannst du meine Antwort ja nochmals durchlesen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ganz genau ...
