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Partialbruchzerlegung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 14.12.2010
Autor: stffn

Aufgabe
Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von:
[mm] \bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}. [/mm]

Hallo!
Also ich habe nochmal eine Frage zu der Partialbruchzerlegung:

Erstmal muss ich ja Polynomdivision machen, mit meiner ersten (geratenen) NS [mm] x_{1}=1: [/mm]

[mm] (x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1 [/mm]

[mm] \rightarrow x_{2,3}=\pm [/mm] i

Ist der Ansatz
[mm] x^4=A(x-i)(x+i)+B(x-1)(x+i)+C(x-1)(x-i) [/mm]
richtig?

Ich muss ja nur eine reelle zerlegung machen,  aber hier habe ich ja 2 komplexe Nullstellen? Was heißt das für meine Rechnung?

Danke, schöne Grüße, stffn.




        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Di 14.12.2010
Autor: reverend

Hallo stffn,

in einer reellen Partialbruchzerlegung werden komplexe Nullstellen nicht beachtet; bei Dir bleibt also die Zerlegung [mm] (x-1)(x^2+1), [/mm] siehe unten.

Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision: der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als der des Nennerpolynoms.

Schließlich hast Du dann den Ansatz [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Di 14.12.2010
Autor: stffn


> Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision:
> der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als
> der des Nennerpolynoms.

Was genau ist mit "ganz andere" gemeint.
Muss ich [mm] (x^4):(x^3-x^2+x-1)=x+\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1} [/mm]
berechnen und dann mit dem echtrationalen Bruch weitermachen?

in jedem Fall komme ich auf den folgenden KVGL:

[mm] x^4=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C) [/mm]

woraus folgt: A=B=C=0.

Wenn das stimmt, wie ist denn dann mein Ergebnis??
[mm] \bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}=x [/mm] ???

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Di 14.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> > Allerdings brauchst Du eine ganz andere Polynomdivision:
> > der Grad des Zählerpolynoms muss ja echt kleiner sein als
> > der des Nennerpolynoms.
>
> Was genau ist mit "ganz andere" gemeint.
> Muss ich
> [mm](x^4):(x^3-x^2+x-1)=x+\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}[/mm]

Das ist die richtige PD, aber nicht vollst., der Nennergrad ist noch nicht kleiner als der Zählergrad.

Du bekommst: [mm]x^4:(x^3-x^2+x-1)=x+1+[/mm] Restterm, der ganz einfach ist ;-)

Von dem Restterm dann die PBZ machen ...

> berechnen und dann mit dem echtrationalen Bruch
> weitermachen?
>
> in jedem Fall komme ich auf den folgenden KVGL:
>
> [mm]x^4=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)[/mm]
>
> woraus folgt: A=B=C=0.
>
> Wenn das stimmt, wie ist denn dann mein Ergebnis??
> [mm]\bruch{x^4}{x^3-x^2+x-1}=x[/mm] ???

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Di 14.12.2010
Autor: stffn

Achsoo, ich dachte, dass der Grad von Zähler und Nenner auch gleich seien können.
Also ich habe nochmal eine PD gemacht:

[mm] \bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=1+\bruch{1}{x^3-x^2+x-1} [/mm]

[mm] \Rightarrow 1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C) [/mm]

[mm] C=\bruch{-1}{2}=B [/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}. [/mm]

Also wäre das Ergebnis [mm] x+1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1} [/mm]


Und ist das jetzt richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Di 14.12.2010
Autor: MathePower

Hallo stffn,

> Achsoo, ich dachte, dass der Grad von Zähler und Nenner
> auch gleich seien können.
>  Also ich habe nochmal eine PD gemacht:
>  
> [mm]\bruch{x^3-x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=1+\bruch{1}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)[/mm]
>  
> [mm]C=\bruch{-1}{2}=B[/mm]
>  [mm]A=\bruch{1}{2}.[/mm]
>  
> Also wäre das Ergebnis
> [mm]x+1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1}[/mm]


Das erste "x" hat hier  nichts zu suchen:

[mm]1+\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}+\bruch{\bruch{-1}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^2+1}[/mm]


>  
> Und ist das jetzt richtig?


Mit der angebrachten Korrektur ist das richtig.


Gruss
MathePower

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Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Di 14.12.2010
Autor: stffn

Hm ich dachte ich muss das x mitnehmen von der ersten PD.

Aber ok. Danke!!!

Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Di 14.12.2010
Autor: MathePower

Hallo stffn,

> Hm ich dachte ich muss das x mitnehmen von der ersten PD.


Die hatte ich natürlich nicht berücksichtigt.

Dann muss Du das x von der ersten PD mitnehmen.


>  
> Aber ok. Danke!!!


Gruss
MathePower

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