Partialbruchzerlegung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:57 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | | Zerlegen Sie [mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] in seine Partialbrüche |
Hallo, ich kann zwar die Partialbruchzerlegung "nach Rezept" dann erhalte ich
[mm]\bruch {0,5}{(x+1)}+\bruch{0,5x-0,5}{(x+i)(x-i)}[/mm]
aber ich verstehe nicht wieso [mm]\bruch{0,5x-0,5}{(x+i)(x-i)}[/mm] nicht noch weiter zerlegt werden kann, so dass am Ende eine Summe von 3 Brüchen dasteht.
Eigentlich müsste ja jeder Ansatz [mm]\bruch{Polynom .\wegde vom .Grad. n}{Polynom .vom .Grad. m>n} = \bruch{irgendein. Polynom .mit. n. Koeffizienten}{gleiches. Polynom .wie. im .Nenner. der .linken .Seite}[/mm]
zu einer Lösung führen.
Richtig weiterhelfen würde mir eine anschauliche Erklärung warum nur der Ansatz aus dem Mathebuch zum Ziel führt.
Grüße Philipp
Wer will kann sich auch meine Lösung "nach Rezept" ansehen, über eine anschauliche Erklärung ohne Lösungskorrektur würde ich mich aber viel mehr freuen als über eine weniger anschauliche mit Korrektur  :
[mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch {A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x+i)(x-i)}[/mm]
führt auf
[mm]x^2 = Ax^2+A+Bx^2+Bx+Cx+C[/mm]
durch Koeffizientenvergleich ergibt sich
[mm]A=B=-C= \bruch{1}{2}[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann stimmt das.
Dann wollte habe ich
[mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch {A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm]
und
[mm]\bruch{x+1}{(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm]
ausprobiert, dabei kam allerdings eine falsche Gleichung heraus.
Hier mal mein Versuch für den 2ten Ansatz:
[mm]\bruch{x+1}{(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch{Bx-Bi+Cx+Ci}{(x-i)(x+i)}[/mm]
Koeffizientenvergleich:
x: [mm]1= B +C <=> {B = 1-C}[/mm]
1: [mm]1=-Bi+Ci = 1 = -({1-C})i+Ci = 2Ci-i <=> C = \bruch{1+i}{2i} = \bruch {i-1}{2} [/mm]
[mm]B=1-C=\bruch{i+1}{2}[/mm]
wenn ich das einsetze kommt leider
[mm]Bx-Bi+Cx+Ci=\bruch{xi+x}{2}-\bruch{-1+i}{2}+\bruch{xi-x}{2}+\bruch{-1-i}{2}[/mm]=[mm]xi+0+0-i \red{\neq}x+1[/mm]
heraus. Beim ersten Ansatz stimmt die Lösung auch nicht.
|
|
| |
|
Hi,
wunschgemäß hab ich deine Ergebnisse nicht nachgerechnet.
Du kannst selbstverständlich eine solche Partialbruchzerlegung finden, du musst dann nur direkt komplex ansetzen. Das kannst du aber auch direkt am Anfang schon machen, dann sparst du dir die eine Rechnung.
Also:
$ [mm] \bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)} [/mm] = [mm] \frac{A}{x+1} [/mm] + [mm] \frac{B}{x+i} +\frac{C}{x-i} [/mm] $
Wobei A,B,C komplex sein müssen, d.h. $A= [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2*i$ [/mm] usw.
Damit bekommst du dann für die 6 Unbekannten [mm] $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ [/mm] aus den drei Koeffizientenvergleichen für [mm] $x^{2}, [/mm] x und 1$ dann durch die getrennte Betrachtung von Real- und Imaginärteil insgesamt 6 Gleichungen.
Lösung könnte dann sein (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
$A = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
$B = [mm] \frac{1}{4} [/mm] - [mm] i*\frac{1}{4} [/mm] $
$C = [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] i*\frac{1}{4}$
[/mm]
Leider kann ich dir deswegen auch nicht anschaulich klar machen, warum das nicht geht  . Aber vielleicht kannst du ja auch mit der Korrektur und dem Ergebnis leben, dass es doch immer geht.
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
> Zerlegen Sie [mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] in seine
> Partialbrüche
> Hallo, ich kann zwar die Partialbruchzerlegung "nach
> Rezept" dann erhalte ich
> [mm]\bruch {0,5}{(x+1)}+\bruch{0,5x-0,5}{(x+i)(x-i)}[/mm]
Üblicherweise sucht man (wenn es geht) Partialbruchzerlegungen
im Reellen. Dann haben wir im vorliegenden Fall:
[mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x^2+1)}\ =\ \bruch {0,5}{(x+1)}+\bruch{0,5x-0,5}{(x^2+1)}[/mm]
(alles reell)
> aber ich verstehe nicht wieso [mm]\bruch{0,5x-0,5}{(x+i)(x-i)}[/mm]
> nicht noch weiter zerlegt werden kann, so dass am Ende eine
> Summe von 3 Brüchen dasteht. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das geht natürlich schon ! Dabei muss man nur in Kauf nehmen,
dass man auch komplexe Koeffizienten braucht.
Die Gleichung [mm]\bruch {0,5}{(x+1)}+\bruch{0,5x-0,5}{(x+i)(x-i)}\ =\ \frac{B}{x+i}+\frac{C}{x-i}[/mm]
führt auf $\ B\ =\ [mm] \frac{1-i}{4}$ [/mm] und $\ C\ =\ [mm] \frac{1+i}{4}$
[/mm]
......
......
> [mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch {A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x+i)(x-i)}[/mm]
>
> führt auf
>
> [mm]x^2 = Ax^2+A+Bx^2+Bx+Cx+C[/mm]
>
> durch Koeffizientenvergleich ergibt sich
>
> [mm]A=B=-C= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann stimmt das.
>
> Dann wollte habe ich
> [mm]\bruch{x^2}{(x+1)(x+i)(x-i)}[/mm] = [mm]\bruch {A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm]
>
> und
> [mm]\bruch{x+1}{(x+i)(x-i)}[/mm] = ***
> [mm]\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm]
> ausprobiert, dabei kam allerdings eine falsche Gleichung
> heraus.
>
> Hier mal mein Versuch für den 2ten Ansatz:
> [mm]\bruch{x+1}{(x+i)(x-i)}[/mm] =
> [mm]\bruch{B}{(x+i)}+\bruch{C}{(x-i)}[/mm] =
> [mm]\bruch{Bx-Bi+Cx+Ci}{(x-i)(x+i)}[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> x: [mm]1= B +C <=> {B = 1-C}[/mm]
> 1: [mm]1=-Bi+Ci = 1 = -({1-C})i+Ci = 2Ci-i <=> C = \bruch{1+i}{2i} = \bruch {i-1}{2}[/mm]
>
> [mm]B=1-C=\bruch{i+1}{2}[/mm]
>
> wenn ich das einsetze kommt leider
>
> [mm]Bx-Bi+Cx+Ci=\bruch{xi+x}{2}-\bruch{-1+i}{2}+\bruch{xi-x}{2}+\bruch{-1-i}{2}[/mm]=[mm]xi+0+0-i \red{\neq}x+1[/mm]
>
> heraus. Beim ersten Ansatz stimmt die Lösung auch nicht.
Da musst du dich schlicht und einfach irgendwo verrechnet haben.
Ich vermute, dass du an der mit *** bezeichneten Stelle
im Zähler x-1 anstatt x+1 hättest nehmen müssen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pppppp |
Vielen Dank!
|
|
|
|
