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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 29.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Verstehe irgendwie das Verfahren der Partialbruchzerlegung nicht (wurde mir auch nie erklärt)
Ich hoffe, dass mir da jemand weiterhelfen kann und mir einzelne Schritte erklären kann. Hab auch schon gegoogelt, aber mir wäre lieber, wenn mir das hier jemand "ordentlich" erklären könnte.
Hab auch ein Beispiel gefunden:
[mm] \bruch{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}
[/mm]
Danke vielmals. Gruß
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Hallo SolRakt,
> Hallo.
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> Verstehe irgendwie das Verfahren der Partialbruchzerlegung
> nicht (wurde mir auch nie erklärt)
>
> Ich hoffe, dass mir da jemand weiterhelfen kann und mir
> einzelne Schritte erklären kann. Hab auch schon gegoogelt,
> aber mir wäre lieber, wenn mir das hier jemand
> "ordentlich" erklären könnte.
>
> Hab auch ein Beispiel gefunden:
>
> [mm]\bruch{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}[/mm]
Da hier die Nullstellen des Nenners [mm]k^{2}(k+1)^{2}[/mm]
doppelt vorkommen, ist hier der folgende Ansatz zu machen:
[mm]\bruch{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=\bruch{A}{k}+\bruch{B}{k^ {2}}+\bruch{C}{k+1}+\bruch{D}{\left(k+1\right)^{2}}[/mm]
Die Koeffizienten A,B,C,D bestimmst Du in dem Du zunächst
die rechte Seite auf den Hauptnenner bringst, d.h hier die Multiplikation
mit [mm]k^{2}(k+1)^{2}[/mm].
Schreibe das erhaltene Resultat, dann in dieser Form:
[mm]\alpha*k^{3}+\beta*k^{2}+\gamma*k+\delta[/mm]
Dabei sind [mm]\alpha, \ \beta, \gamma,\ \delta[/mm]
von den Koeffizienten A,B,C,D abhängig und es entsteht
folgendes Gleichungssystem:
[mm]\alpha=0[/mm]
[mm]\beta=0[/mm]
[mm]\gamma=2[/mm]
[mm]\delta=1[/mm]
Dieses Gleichungssystem ist dann nach
den Koeffizienten A,B,C,D aufzulösen.
>
> Danke vielmals. Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 29.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal für die Antwort.
Aber so ganz verstehe ich das noch nicht.
Also, es gilt:
[mm] \bruch{A(k^{2}(k+1)^{2})}{k(k^{2}(k+1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{B(k^{2}(k+1)^{2})}{k^{2}(k^{2}(k+1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{C(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)(k^{2}(k+1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{D(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)^{2}(k^{2}(k+1)^{2}} [/mm]
Sieht nur kompliziert aus, also habe ich etwas vereinfacht:
[mm] \bruch{A(k^{2}(k+1)^{2})}{(k^{3}(k+1)^{2})} [/mm] + [mm] \bruch{B(k^{2}(k+1)^{2})}{(k^{4}(k+1)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{C(k^{2}(k+1)^{2})}{k^{3}(k+1)^{2} + k^{2}(k+1)^{2})} [/mm] + [mm] \bruch{D(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)^{2}(k^{2}(k+1)^{2}}
[/mm]
Und jetzt?
[mm] k+1)(k^{2}(k+1)^{2}) [/mm]
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Hallo SolRakt,
> Danke erstmal für die Antwort.
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> Aber so ganz verstehe ich das noch nicht.
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> Also, es gilt:
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> [mm]\bruch{A(k^{2}(k+1)^{2})}{k(k^{2}(k+1)^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{B(k^{2}(k+1)^{2})}{k^{2}(k^{2}(k+1)^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{C(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)(k^{2}(k+1)^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{D(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)^{2}(k^{2}(k+1)^{2}}[/mm]
Der Hauptnenner ist doch [mm]k^2(k+1)^2[/mm]
Du hast den Ansatz [mm]\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k^2}+\frac{C}{k+1}+\frac{D}{(k+1)^2}[/mm]
Da musst du doch so erweitern:
[mm]\gdw \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{A\cdot{}\red{k(k+1)^2}}{k\cdot{}\red{k(k+1)^2}}+\frac{B\cdot{}\blue{(k+1)^2}}{k^2\cdot{}\blue{(k+1)^2}}+\frac{D\cdot{}\green{k^2(k+1)}}{(k+1)\cdot{}\green{k^2(k+1)}}+\frac{D\cdot{}\red{k^2}}{(k+1)^2\cdot{}\red{k^2}}[/mm]
Nun kannst du rechterhand alles auf einen Bruchstrich schreiben.
Tue das, multipliziere im Zähler aus und sortiere nach Potenzen von k, wie Mathepower schon schrieb.
Dann kannst du den Zähler mit dem linkerhand, also mit [mm]2k+1[/mm] vergleichen ...
> Sieht nur kompliziert aus, also habe ich etwas
> vereinfacht:
>
> [mm]\bruch{A(k^{2}(k+1)^{2})}{(k^{3}(k+1)^{2})}[/mm] +
> [mm]\bruch{B(k^{2}(k+1)^{2})}{(k^{4}(k+1)^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{C(k^{2}(k+1)^{2})}{k^{3}(k+1)^{2} + k^{2}(k+1)^{2})}[/mm]
> + [mm]\bruch{D(k^{2}(k+1)^{2})}{(k+1)^{2}(k^{2}(k+1)^{2}}[/mm]
>
> Und jetzt?
>
> [mm]k+1)(k^{2}(k+1)^{2})[/mm]
Gruß
schachuzipus
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