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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 28.05.2011 | | Autor: | a.d. |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe bereits zwei andere Aufgaben ohne größere Probleme gelöst, nur bei dieser hier hänge ich ein wenig.
Meine Lösungsstrategie sah immer wie folgt aus:
- Polynomdivision mit Rest (wenn nötig)
- (reele) Nullstellen des Nenners bestimmen
- in Abhängigkeit der Häufigkeiten der Nullstellen folgenden Partialbruchansatz und dann eine Koeffizientenvergleich
- Lösen des LGS
Zur Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}
[/mm]
Soweit alles klar, eine dreifache Nullstelle im Nenner und somit folgt
[mm] \bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3}
[/mm]
Nun folgte bei mir immer die Multiplikation mit dem Hauptnenner und danach der Koeffizientenvergleich:
[mm] \bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3} //*(x+1)^3
[/mm]
[mm] 1=A*(x+1)^2+B*(x+1)+C
[/mm]
Nun kann ich meinen Koeffizientenverglecih nicht ansetzen, da der Koeffizient für [mm] x^2 [/mm] und x fehlt...ich hab jetzt ein einzeiliges LGS mit drei Variablen hier zu stehen (1=A+B+C) und somit zwei Variablen zu wenig.
Einsetzen von Werten für x liefert:
1) 1=4A+2B+C für x=1
2) 1=9A+3B+C für x=2
3) 1=C für x=-1
[mm] \vdots
[/mm]
0=12A+6B
0=18A+6B
1=C
und somit komme ich auf A=0, B=0 und c=1
Die Partialbruchzerlegung sähe dann so aus:
[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}
[/mm]
...schön im Kreis gerechnet und keinen Deut schlauer...
Kann ich einfach so beliebige Werte für x einsetzen (mir ist nichts anderes eingefallen) oder ist mein Lösungsansatz hier komplett falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Sa 28.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von
>
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe bereits zwei andere Aufgaben ohne größere
> Probleme gelöst, nur bei dieser hier hänge ich ein
> wenig.
>
> Meine Lösungsstrategie sah immer wie folgt aus:
> - Polynomdivision mit Rest (wenn nötig)
> - (reele) Nullstellen des Nenners bestimmen
> - in Abhängigkeit der Häufigkeiten der Nullstellen
> folgenden Partialbruchansatz und dann eine
> Koeffizientenvergleich
> - Lösen des LGS
>
> Zur Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]
>
> Soweit alles klar, eine dreifache Nullstelle im Nenner und
> somit folgt
>
> [mm]\bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3}[/mm]
>
> Nun folgte bei mir immer die Multiplikation mit dem
> Hauptnenner und danach der Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]\bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3} |+(x+1)^3[/mm]
>
> [mm]1=A*(x+1)^2+B*(x+1)+C[/mm]
>
> Nun kann ich meinen Koeffizientenverglecih nicht ansetzen,
> da der Koeffizient für [mm]x^2[/mm] und x fehlt...ich hab jetzt ein
> einzeiliges LGS mit drei Variablen hier zu stehen (1=A+B+C)
> und somit zwei Variablen zu wenig.
>
> Einsetzen von Werten für x liefert:
>
> 1) 1=4A+2B+C für x=1
> 2) 1=9A+3B+C für x=2
> 3) 1=C für x=-1
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> 0=12A+6B
> 0=18A+6B
> 1=C
> und somit komme ich auf A=0, B=0 und c=1
Das überrascht mich nicht .....
>
> Die Partialbruchzerlegung sähe dann so aus:
>
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}[/mm]
>
> ...schön im Kreis gerechnet und keinen Deut schlauer...
Eben. Das ist das Ergebnis:
[mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]
Das hättest Du schneller haben können ....
>
> Kann ich einfach so beliebige Werte für x einsetzen (mir
> ist nichts anderes eingefallen) oder ist mein
> Lösungsansatz hier komplett falsch?
Mit
[mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]
bist Du fertig !
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Sa 28.05.2011 | | Autor: | a.d. |
Ich werde dann noch einmal das Kapitel betreffs der Partialbruchzerlegungen durchlesen...den Binom habsch ja erkannt!
Danke für die schnelle Antwort!!
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