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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Machen sie hiervon eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{2x-2}{(x-3)^2}$ [/mm] |
Hey Leute!
Also soweit is mir das klar:
[mm] $\frac{2x-2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{(x-3)^2} [/mm] + [mm] \frac{B}{(x-3)^2}$
[/mm]
Falls das Nennerpolynom in "normaler" Schreibweise gegeben ist, muss man davon eben erst die Nullstellen berechnen. Was ist aber, wenn hier dann mehr als nur eine Nullstelle rauskommt? Wie muss man dann die Nenner der Zerlegung angeben? Hier ist das ja einfach weil die Nenner nach der größe Potenz absteigen angegeben werden. Wie ist das aber bei einm quadratischen Nennerpolynom, das zwei Nullstellen hat?
Wie gehts an der Stelle, wo ich da mit der Aufgabe gerade bin, weiter?
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> Machen sie hiervon eine Partialbruchzerlegung:
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> [mm]\frac{2x-2}{(x-3)^2}[/mm]
> Hey Leute!
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> Also soweit is mir das klar:
>
> [mm]\frac{2x-2}{(x-3)^2} = \frac{A}{(x-3)^2} + \frac{B}{(x-3)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was soll denn das bringen ?
Es muss so lauten:
[mm]\frac{2x-2}{(x-3)^2} = \frac{A}{(x-3)^2} + \frac{B}{x-3}[/mm]
> Falls das Nennerpolynom in "normaler" Schreibweise gegeben
> ist, muss man davon eben erst die Nullstellen berechnen.
> Was ist aber, wenn hier dann mehr als nur eine Nullstelle
> rauskommt? Wie muss man dann die Nenner der Zerlegung
> angeben? Hier ist das ja einfach weil die Nenner nach der
> größe Potenz absteigen angegeben werden. Wie ist das aber
> bei einm quadratischen Nennerpolynom, das zwei Nullstellen
> hat?
Beispiel:
[mm]\frac{2x-2}{x^2+4\,x-21}\ =\ \frac{2x-2}{(x-3)(x+7)}\ =\ \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+7}[/mm]
> Wie gehts an der Stelle, wo ich da mit der Aufgabe gerade
> bin, weiter?
Die Zahlenwerte für A und B berechnen !
(zuerst mit dem Hauptnenner erweitern, dann Koeffizi-
entenvergleich)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Das zustäzliche Quadrat im Nenner war ein tipfehler. hab das schon richtig auf'm blatt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \frac{2x-2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{(x-3)^2} [/mm] + [mm] \frac{B}{(x-3)} [/mm] = ... = [mm] \frac{A}{(x-3)^2} [/mm] + [mm] \frac{B(x-3)}{(x-3)^2}$
[/mm]
soweit richtig?
Jetzt kommt bestimmt Koeffizientenvergleich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
> [mm]\frac{2x-2}{(x-3)^2} = \frac{A}{(x-3)^2} + \frac{B}{(x-3)} = ... = \frac{A}{(x-3)^2} + \frac{B(x-3)}{(x-3)^2}[/mm]
> soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt kommt bestimmt Koeffizientenvergleich
Wenn Du im Zähler zusammengefasst hast: ja.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \frac{2x-2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{(x-3)^2} [/mm] + [mm] \frac{B}{(x-3)} [/mm] = ... = [mm] \frac{A+B(x-3)}{(x-3)^2} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \frac{2x-2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{A+B(x-3)}{(x-3)^2} [/mm] $
Richtig?
Wie geht's weiter?
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Hallo!
> [mm]\frac{2x-2}{(x-3)^2} = \frac{A}{(x-3)^2} + \frac{B}{(x-3)} = ... = \frac{A+B(x-3)}{(x-3)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{2x-2}{(x-3)^2} = \frac{A+B(x-3)}{(x-3)^2}[/mm]
>
> Richtig?
>
> Wie geht's weiter?
Nun im Zuge des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und die entstehenden Summanden hinsichtlich der Potenzen von x sortieren. Durch einen Koeffizientenvergleich erhälst du dann ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungen dir die Werte für A und B liefern.
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Sa 16.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Nun im Zuge des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und die entstehenden Summanden hinsichtlich der Potenzen von x sortieren."
Bezieht sich das nur auf den Zähler? Falls ja sieht das ganze jetzt so aus:
$ [mm] \frac{2x-2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{(x-3)^2} [/mm] + [mm] \frac{B}{(x-3)} [/mm] = ... = [mm] \frac{A+B(x-3)}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \frac{Bx+A-B3}{(x-3)^2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Und nun der Koeffizientenvergleich: $B*x+(A-3*B) \ = \ 2*x-2$ .
Gruß
Loddar
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Und nun der Koeffizientenvergleich: [mm]\red{A}*x+(A-3*B) \ = \ 2*x-2[/mm]
Da sollte duch stehen: [mm]\blue{B}*x+(A-3*B) \ = \ 2*x-2[/mm]
LG
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