Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, ich soll folgende Stammfkt. bilden:
[mm] i)\integral_{0}^{1/2}{\bruch{x^{4}}{x^{4}-1} dx}
[/mm]
[mm] ii)\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}
[/mm]
Also bei i) habe ich
erstmal ein Polynomdivision durchgeführt: [mm] x^{4}:x^{4}-1= [/mm] 1 rest 1also betrachtet man [mm] \bruch{1}{x^{4}-1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}... [/mm] Ich weiß hier jetzt nicht wie ich diese Nenner bestimmen soll. Also wie viele Konstanten A,B,C,D,E.. und wie viel x-1 und ob ich welche mit Exponenten schreiben soll.
ii)Hier habe ich auch zuerst polynomdivi. durchgeführt: [mm] {x^{3}}:{x^{2}-5x+4}= [/mm] x+5 rest 21x-20
also betrachtet man [mm] \bruch{21x-20}{x^{2}-5x+4}= \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-4} [/mm] koeffizientenvergleich liefert A=-1/3 und B=64/3
[mm] -->\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}=(-1/3log(2)+64/3log(-1))-(-1/3log(1)+64/3log(-2)) [/mm] stimmt das so??
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Stift,
> Hallo, ich soll folgende Stammfkt. bilden:
> [mm]i)\integral_{0}^{1/2}{\bruch{x^{4}}{x^{4}-1} dx}[/mm]
>
> [mm]ii)\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}[/mm]
>
> Also bei i) habe ich
> erstmal ein Polynomdivision durchgeführt: [mm]x^{4}:x^{4}-1=[/mm] 1
> rest 1also betrachtet man [mm]\bruch{1}{x^{4}-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}...[/mm] Ich weiß hier jetzt nicht
> wie ich diese Nenner bestimmen soll. Also wie viele
> Konstanten A,B,C,D,E.. und wie viel x-1 und ob ich welche
> mit Exponenten schreiben soll.
Der Ansatz lautet hier:
[mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]
> ii)Hier habe ich auch zuerst polynomdivi. durchgeführt:
> [mm]{x^{3}}:{x^{2}-5x+4}=[/mm] x+5 rest 21x-20
> also betrachtet man [mm]\bruch{21x-20}{x^{2}-5x+4}= \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-4}[/mm]
> koeffizientenvergleich liefert A=-1/3 und B=64/3
> [mm]-->\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}=(-1/3log(2)+64/3log(-1))-(-1/3log(1)+64/3log(-2))[/mm]
Hier hast Du vergessen x+5 auch noch zu integrieren:
[mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\blue{\integral_{2}^{3}{x+5 \ dx}}+\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}[/mm]
> stimmt das so??
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke.
> Der Ansatz lautet hier:
>
> [mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]
Ok, aber warum Cx+D und nicht einfach nur C und D und woher weißt du dass du bei D aufhören musst. Warum [mm] x^{2} [/mm] und warum nicht weiter mit [mm] x^{3} [/mm] und [mm] x^{4}??
[/mm]
Tutmirleid, aber mir ist das einfach nicht klar
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Stift,
> Hallo, danke.
>
>
> > Der Ansatz lautet hier:
> >
> > [mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]
>
> Ok, aber warum Cx+D und nicht einfach nur C und D und woher
Nun, weil [mm]x^{2}+1[/mm] keine reellen Nullstellen hat.
> weißt du dass du bei D aufhören musst. Warum [mm]x^{2}[/mm] und
> warum nicht weiter mit [mm]x^{3}[/mm] und [mm]x^{4}??[/mm]
>
Das Nennerpolynom kann wie folgt zerlegt werden:
[mm]x^{4}-1=\left(x-1\right)*\left(x+1\right)*\left(x^{2}+1\right)[/mm]
> Tutmirleid, aber mir ist das einfach nicht klar
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo,
danke für die super schnelle Hilfe.
Gruß
|
|
|
|
