Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2} [/mm] |
Hallo,
ich möchte die Partialbruchzerlegung für obige Funktion berechnen. Aber der Grad von q ist ja größer als der Grad von p!
Was mach ich denn da???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali!
Damit der Zählergrad echt kleiner wird als der Nennergrad, musst Du zunächst eine  Polynomdivision durchführen:
[mm] $\left(x^{3}-6x^{2}+11x-6\right):\left(x^{2}+3x+2\right) [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Ali,
> [mm]f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2}[/mm]
>
> ich möchte die Partialbruchzerlegung für obige Funktion
> berechnen. Aber der Grad von q ist ja größer als der Grad
> von p!
>
> Was mach ich denn da???
Wenns unbedingt eine PBZ sein muss, dann ist der Tipp von Roadrunner der einzig mögliche.
Vielleicht kannst Du Dir die PBZ aber auch sparen, wenn Du weißt, dass [mm] f(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)(x+2)} [/mm] ist.
Kommt halt drauf an, was Du eigentlich mit der Funktion machen willst. Integrieren? Dann hilft Dir mein Tipp nicht weiter... 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
In der Aufgabenstellung steht wörtlich: "Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung für [mm] f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2}"
[/mm]
Also ist meiner Meinung nach keine Integration gefragt... oder???
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Hallo piriyaie,
> In der Aufgabenstellung steht wörtlich: "Berechnen Sie die
> Partialbruchzerlegung für
> [mm]f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2}"[/mm]
>
> Also ist meiner Meinung nach keine Integration gefragt...
> oder???
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ich verstehe die polynomdivision nicht.... :-(
Ich habe noch nie eine polynomdivision mit polynomen 3. Grades geteilt durch polynomen 2. grades. Wie funktioniert das?
Bei mir kommt irgendwie [mm] x+27+\bruch{36x^{2}-72x-60}{x^{2}+3x+2} [/mm] raus....
Das kann ja ned stimmen.
Kann mir jemand zeigen wie das geht?
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Hallo piriyaie,
> Ich verstehe die polynomdivision nicht.... :-(
>
> Ich habe noch nie eine polynomdivision mit polynomen 3.
> Grades geteilt durch polynomen 2. grades. Wie funktioniert
> das?
>
> Bei mir kommt irgendwie
> [mm]x+27+\bruch{36x^{2}-72x-60}{x^{2}+3x+2}[/mm] raus....
>
> Das kann ja ned stimmen.
Tut's auch nicht.
>
> Kann mir jemand zeigen wie das geht?
ok, [mm](\red{x^3}-6x^2+11x-6):(\blue{x^2}+3x+2)=[/mm]
Zuerst überlegt man, wie oft das [mm]\blue{x^2}[/mm] in [mm]\red{x^3}[/mm] "passt" - offenbar [mm]\green{x}[/mm]-mal
Also
[mm](\red{x^3}-6x^2+11x-6):(\blue{x^2}+3x+2)=\green x[/mm]
[mm]-(x^3+3x^2+2x)[/mm]
[mm]______________[/mm]------------
[mm] \ \ \red{-9x^2}+9x-6[/mm]
Wie oft passt nun [mm]\blue{x^2}[/mm] in [mm]\red{-9x^2}[/mm] ?
-9mal
Also
[mm](\red{x^3}-6x^2+11x-6):(\blue{x^2}+3x+2)=\green{x-9}[/mm]
[mm]-(x^3+3x^2+2x)[/mm]
[mm]______________[/mm]------------
[mm] \ \ \red{-9x^2}+9x-6[/mm]
[mm] \ \ -(-9x^2-27x-18)[/mm]
[mm]_____________________[/mm]--------------
[mm] \ \ \ 36x+12[/mm]
Das ist der Rest
Also [mm]\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2+3x+2}=x-9+\frac{36x+12}{x^2+3x+2}[/mm]
Modulo Rechenfehler ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Das hatte ich zuerst dastehen und dachte das ist falsch. XD
Ok. Also es kommt nun bei der Polynomdivision [mm] x-9+\frac{36x+12}{x^2+3x+2} [/mm] raus.
Wie fahre ich nun fort???
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Hallo nochmal,
> Das hatte ich zuerst dastehen und dachte das ist falsch.
> XD
>
> Ok. Also es kommt nun bei der Polynomdivision
> [mm]x-9+\frac{36x+12}{x^2+3x+2}[/mm] raus.
>
> Wie fahre ich nun fort???
Ich nehme an, es geht darum, den Ausgangsbruch zu integrieren?!
Nach der PD kannst du ja [mm]x-9[/mm] einfach integrieren. Für den verbleibenden "Restbruch" mache eine Partialbruchzerlegung.
Die Faktorisierung des Nenners steht ja schon im thread:
Ansatz: [mm]\frac{36x+12}{x^2+3x+2}=\frac{36x+12}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}[/mm]
Mache rechterhand gleichnamig, dann Koeffizientenvergleich in den Zählern rechter- und linkerhand, um [mm]A,B[/mm] zu bestimmen.
Dann hast du eine Summe zweier einfach zu integrierender Brüche ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ob man hier integrieren soll? MathePower meinte vorhin nicht. Ich dachte es geht nur darum die PBZ zu berechnen und nicht zu integrieren????
Nochmal, die Aufgabenstellung wörtlich:
"Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung für [mm] f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2}. [/mm] "
Soll ich nun auch integrieren oder nur die PBZ berechnen?
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
> Ob man hier integrieren soll? MathePower meinte vorhin
> nicht. Ich dachte es geht nur darum die PBZ zu berechnen
> und nicht zu integrieren????
>
> Nochmal, die Aufgabenstellung wörtlich:
>
> "Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung für
> [mm]f(x)=\bruch{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}+3x+2}.[/mm] "
>
> Soll ich nun auch integrieren oder nur die PBZ berechnen?
Na, wenn's in der Aufgabe steht, reicht die PBZ
Die macht man ja meist nicht grundlos, sondern häufig, um solch gebrochen-rationale Funktionen einfacher integrieren zu können.
Da das aber nicht gefragt ist, sollte die PBZ reichen ...
>
> Grüße
> Ali
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 02.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok.
Und wie gehe ich nun vorran? jetzt hab ich das alles so komisch dastehen mit einem x-9 vor dem bruch. was mach ich mit dem x-9???
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Hi!
> mit dem x-9???
Tolle Aussage. Keiner weiß was du meinst.
Tippe deinen Lösungsweg hier ab. Ansonsten macht das keinen Sinn.
Um auf Schachuzipus Antwort zurückzukommen:
Ausgehend von dem hier:
$ [mm] \frac{36x+12}{x^2+3x+2}=\frac{36x+12}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} [/mm] $
Musst du nun dein A und B bestimmen. Ihr habt im Unterricht mit Sicherheit Methoden an die Hand gelegt bekommen, mit denen man das lösen kann.
Schlag das also noch nach.
Valerie
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Hallo Ali,
> ok.
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> Und wie gehe ich nun vorran? jetzt hab ich das alles so
> komisch dastehen mit einem x-9 vor dem bruch. was mach ich
> mit dem x-9???
Das bleibt einfach da stehen. Deine vollständige PBZ wird also ein solches Ergebnis haben:
[mm] f(x)=x-9+\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x+2}
[/mm]
Ansonsten warten wir ja nur noch darauf, dass Du endlich A und B bestimmst...
Grüße
reverend
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