Partialbruchzerlegung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der folgenden rationalen Funktionen sowie deren Partialbruchzerlegung im Reellen und im Komplexen:
[mm] f(x)=\bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10} [/mm] |
Ich sitze vor dieser Aufgabe und komme nicht recht auf den Ansatz den ich wählen soll. Ich weiß, dass es im reellen Bereich keine Nullstelle gibt. Sehr wohl aber im komplexen.
Der Definitionsbereich von f(x) im reellen ist ganz [mm] \IR.
[/mm]
Der Definitionsbereich im komplexen ist nach meiner Rechnung [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{-3+i, -3-i\} [/mm] da [mm] x_{0}=-3+i, x_{1}=-3-i [/mm] komplexe NST des Nenners sind.
Jetzt, an der Stelle an der es interessant wird, geht mir die Luft aus. Kann mir irgendjemand einen Ansatz oder Anstoß geben, wie ich hier nun weitermache?
Viele Grüße und Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fuoor,
> Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der
> folgenden rationalen Funktionen sowie deren
> Partialbruchzerlegung im Reellen und im Komplexen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10}[/mm]
> Ich sitze vor dieser Aufgabe und komme nicht recht auf den
> Ansatz den ich wählen soll. Ich weiß, dass es im reellen
> Bereich keine Nullstelle gibt. Sehr wohl aber im komplexen.
>
> Der Definitionsbereich von f(x) im reellen ist ganz [mm]\IR.[/mm]
>
> Der Definitionsbereich im komplexen ist nach meiner
> Rechnung [mm]\IC[/mm] \ [mm]\{-3+i, -3-i\}[/mm] da [mm]x_{0}=-3+i, x_{1}=-3-i[/mm]
> komplexe NST des Nenners sind.
>
> Jetzt, an der Stelle an der es interessant wird, geht mir
> die Luft aus. Kann mir irgendjemand einen Ansatz oder
> Anstoß geben, wie ich hier nun weitermache?
>
Zunächst ist eine Polynomdivision durchzuführen .
> Viele Grüße und Danke für die Hilfe.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 28.11.2013 | | Autor: | fuoor |
Hallo Mathepower,
ich danke Ihnen für die rasche Antwort. Ich habe an meinem "Problem" nun weiter gearbeitet. Die vorgeschlagene Polynomdivision habe ich folgendermaßen durchgeführt
[mm] (2x^2+9x+12):(x^2+6x+10)=2+\bruch{-3x-8}{x^2+6x+10}
[/mm]
Die Nullstellen hatte ich ja bereits im komplexen mit [mm] x_1=-3+i [/mm] und [mm] x_2=-3-i [/mm] herausgearbeitet. Daraus resultiert nun:
[mm] 2+\bruch{-3x-8}{(x+3+i)(x+3-i)}=2+\bruch{A}{x+3+i}+\bruch{B}{x+3-i}
[/mm]
In die Gleichung
-3x-8=A(x+3+i)+B(x+3-i)
setze ich jetzt [mm] x_1=-3+i [/mm] und [mm] x_2=-3-i [/mm] ein und erhalte für
[mm] X_1 A=\bruch{1-3i}{2i} [/mm] und [mm] x_2 B=\bruch{1+3i}{-2i}
[/mm]
Ich erhalte somit [mm] /bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10}=2+\bruch{\bruch{1-3i}{2i}}{(x+3+i)}+/bruch{\bruch{1+3i}{-2i}}{(x+3-i)}
[/mm]
Habe ich korrekt gerechnet oder habe ich irgendetwas vergessen?
Ich danke für die Hilfestellung und wünsche einen schönen Abend.
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Hallo fuoor,
> Hallo Mathepower,
>
> ich danke Ihnen für die rasche Antwort. Ich habe an meinem
> "Problem" nun weiter gearbeitet. Die vorgeschlagene
> Polynomdivision habe ich folgendermaßen durchgeführt
>
> [mm](2x^2+9x+12):(x^2+6x+10)=2+\bruch{-3x-8}{x^2+6x+10}[/mm]
>
> Die Nullstellen hatte ich ja bereits im komplexen mit
> [mm]x_1=-3+i[/mm] und [mm]x_2=-3-i[/mm] herausgearbeitet. Daraus resultiert
> nun:
>
> [mm]2+\bruch{-3x-8}{(x+3+i)(x+3-i)}=2+\bruch{A}{x+3+i}+\bruch{B}{x+3-i}[/mm]
>
> In die Gleichung
>
> -3x-8=A(x+3+i)+B(x+3-i)
>
Die Gleichung muss doch so lauten:
[mm]-3x-8=A(x+3\blue{-}i)+B(x+3\blue{+}i)[/mm]
> setze ich jetzt [mm]x_1=-3+i[/mm] und [mm]x_2=-3-i[/mm] ein und erhalte für
>
> [mm]X_1 A=\bruch{1-3i}{2i}[/mm] und [mm]x_2 B=\bruch{1+3i}{-2i}[/mm]
>
> Ich erhalte somit
> [mm]/bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10}=2+\bruch{\bruch{1-3i}{2i}}{(x+3+i)}+/bruch{\bruch{1+3i}{-2i}}{(x+3-i)}[/mm]
>
> Habe ich korrekt gerechnet oder habe ich irgendetwas
> vergessen?
>
> Ich danke für die Hilfestellung und wünsche einen
> schönen Abend.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 28.11.2013 | | Autor: | fuoor |
> Die Gleichung muss doch so lauten:
>
> [mm]-3x-8=A(x+3\blue{-}i)+B(x+3\blue{+}i)[/mm]
ergo dreht sich das Ergebnis. A demnach [mm] \bruch{1+3i}{2i} [/mm] und B [mm] \bruch{1-3i}{-2i}. [/mm] Der Rest der Rechnung ist korrekt? Ich habe jetzt nur ein kleines Verständnisproblem nämlich warum ich A und B nicht quasi "willkürlich" wählen kann. Oder habe ich damit etwas grundlegendes nicht verstanden?
Ich danke Ihnen für die Hilfe.
Beste Grüße.
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Hallo fuoor.
>
> > Die Gleichung muss doch so lauten:
> >
> > [mm]-3x-8=A(x+3\blue{-}i)+B(x+3\blue{+}i)[/mm]
>
> ergo dreht sich das Ergebnis. A demnach [mm]\bruch{1+3i}{2i}[/mm]
> und B [mm]\bruch{1-3i}{-2i}.[/mm] Der Rest der Rechnung ist korrekt?
Ja.
Den Nenner der Koeffizienten kann man noch rational machen.
> Ich habe jetzt nur ein kleines Verständnisproblem nämlich
> warum ich A und B nicht quasi "willkürlich" wählen kann.
> Oder habe ich damit etwas grundlegendes nicht verstanden?
>
Durch die obige Gleichung sind die Koeffizienten A und B eindeutig festgelegt.
> Ich danke Ihnen für die Hilfe.
>
> Beste Grüße.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 29.11.2013 | | Autor: | fuoor |
Hallo MathePower,
ich glaube ich habe es jetzt verstenden. Ergibt ja auch Sinn ;).
Wenn ich die Brüche rational mache erhalte ich
[mm] 2+\bruch{1+3i}{-2ix-6i+2}+\bruch{1-3i}{2ix+6i+2}
[/mm]
Macht es in irgendeiner Form noch Sinn die 2 im Nenner auszuklammern?
Ich danke Ihnen für die Hilfe und wünsche Ihnen einen schönen Tag!
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Hallo,
> Hallo MathePower,
>
> ich glaube ich habe es jetzt verstenden. Ergibt ja auch
> Sinn ;).
>
> Wenn ich die Brüche rational mache erhalte ich
>
> [mm]2+\bruch{1+3i}{-2ix-6i+2}+\bruch{1-3i}{2ix+6i+2}[/mm]
Hmm, mit [mm]A=\frac{1+3i}{2i}[/mm] ergibt sich doch nach Erweiterung mit [mm]-2i[/mm]:
[mm]A=\frac{3-i}{2}[/mm]
Analog für [mm]B[/mm]: [mm]B=\frac{3+i}{2}[/mm]
Aber du hast irgendwie die Vorzeichen in den Nenner gewurschtelt ...
Ich hab's jetzt mal selber nachgerechnen und komme auf:
[mm]A=\frac{-6+2i}{2i}=\frac{-3+i}{2}[/mm] und [mm]B=\frac{1-3i}{2i}=\frac{-3-i}{2}[/mm]
Mit deinem Ergebnis der PD oben also
[mm]...=2+\frac{-3x-8}{x^2+6x+10}=2+\frac{-3+i}{2(x+3+i)}+\frac{-3-i}{2(x+3-i)}[/mm]
>
> Macht es in irgendeiner Form noch Sinn die 2 im Nenner
> auszuklammern?
Jo, wenn du im Weiteren das Integral ausrechnen sollst, kannst du es ja vorziehen, also
[mm]...=2+\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{-3+i}{x+3+i}+\frac{-3-i}{x+3-i}\right][/mm]
So, ich hoffe, ich habe alles richtig aufgeschrieben und v.a. richtig von meinem Schmierzettel abgeschrieben - ist schwer zu lesen 
Vergleiche einfach nochmal dein und mein Ergebnis ...
>
> Ich danke Ihnen für die Hilfe und wünsche Ihnen
Wir sind hier alle per "Du" ...
> einen
> schönen Tag!
Gruß
schachuzipus
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