Partialbruchzerlegung mit 3 Ns < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Do 26.03.2009 | | Autor: | Yuri17 |
| Aufgabe | Führe Partialbruchzerlegung durch:
a) [mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es fällt sofort auf, dass 1 die einzigste Nullstelle bei dieser Aufgabe ist , allerdings tritt sie drei mal auf .
Ich habe also wie folgt begonnen:
[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3}
[/mm]
Nun habe ich beide Seite mit (x - [mm] 2)^3 [/mm] multipliziert und erhalte folgendes:
[mm] x^4 [/mm] = [mm] \alpha(x -2)^2 [/mm] + [mm] \beta(x [/mm] - 2) + [mm] \gamma
[/mm]
Jetzt habe ich x=2 eingesetzt und erhalte [mm] \gamma=16 [/mm] .
Wie soll ich weitermachen , um [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zu errechnen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 26.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Führe Partialbruchzerlegung durch:
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> a) [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Es fällt sofort auf, dass 1 die einzigste Nullstelle bei
> dieser Aufgabe ist , allerdings tritt sie drei mal auf .
> Ich habe also wie folgt begonnen:
>
> [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta}{(x - 2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{\gamma}{(x - 2)^3}[/mm]
>
> Nun habe ich beide Seite mit (x - [mm]2)^3[/mm] multipliziert und
> erhalte folgendes:
>
> [mm]x^4[/mm] = [mm]\alpha(x -2)^2[/mm] + [mm]\beta(x[/mm] - 2) + [mm]\gamma[/mm]
>
> Jetzt habe ich x=2 eingesetzt und erhalte [mm]\gamma=16[/mm] .
> Wie soll ich weitermachen , um [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] zu
> errechnen??
Dein Ansatz
$ [mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3} [/mm] $
ist falsch. Wenn Du die Summe rechts auf den Hauptnenner bringst, bekommst Du im Zähler ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 3. Das kann aber nicht sein.
Bringe
[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}
[/mm]
zunächst auf die Form
[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] = p(x) [mm] +\bruch{q(x)}{(x - 2)^3},
[/mm]
wobei p und q Polynome sind und Grad(q) [mm] \le [/mm] 2.
Für [mm] \bruch{q(x)}{(x - 2)^3} [/mm] machst Du dann den Ansatz
[mm] \bruch{q(x)}{(x - 2)^3} [/mm] = $ [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\beta}{(x - 2)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\gamma}{(x - 2)^3} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 26.03.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Danke, nun bin ich schon ein Stück weiter ^^. Aber ich habe immernoch eine Frage :
Also mittels Polynomdivision habe ich folgendes erhalten:
[mm] \bruch{x^{4}}{(x - 2)^3} [/mm] = x + 6 + [mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}
[/mm]
Nun rechne ich hiermit : [mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3} [/mm] weiter.
[mm] \bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta}{(x-2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\gamma}{(x-2)^3} [/mm]
Durch multiplikation mit (x [mm] -2)^3 [/mm] erhalte ich :
[mm] 24x^2 [/mm] + 64x + 48 = [mm] \alpha(x-2)^2 [/mm] + [mm] \beta(x-2) [/mm] + [mm] \gamma [/mm]
Für x=2 erhalte ich [mm] \gamma=16 [/mm] .
Wie komme ich auf [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta?? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 26.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke, nun bin ich schon ein Stück weiter ^^. Aber ich habe
> immernoch eine Frage :
>
>
> Also mittels Polynomdivision habe ich folgendes erhalten:
>
> [mm]\bruch{x^{4}}{(x - 2)^3}[/mm] = x + 6 + [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm]
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> Nun rechne ich hiermit : [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm]
> weiter.
>
> [mm]\bruch{24x^2 - 64x + 48}{(x-2)^3}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta}{(x-2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{\gamma}{(x-2)^3}[/mm]
>
> Durch multiplikation mit (x [mm]-2)^3[/mm] erhalte ich :
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> [mm]24x^2[/mm] + 64x + 48 = [mm]\alpha(x-2)^2[/mm] + [mm]\beta(x-2)[/mm] + [mm]\gamma[/mm]
>
> Für x=2 erhalte ich [mm]\gamma=16[/mm] .
>
> Wie komme ich auf [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta??[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich
FRED
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