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Partialsumme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Do 30.05.2013
Autor: Tetsuo

Aufgabe
Hallo,
ich möchte die folgende Partialsumme [mm] S_{10} [/mm] berechnen.

[mm] S_{10}=\summe_{m=0}^{10} \bruch{(4m+3)\pi}{2^{4m+1} } |\summe_{k=0}^{m}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2m+1 \\ k} *\vektor{4m+2-2k\\ 2m+1}}{2m+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2m+2-2k}*|B_{2m+2-2k}| }{2*(2m+2-2k)^{2} * (2m-2k)!})|^{2} [/mm]  

(Die [mm] B_{2m+2-2k} [/mm] sind die entsprechenden Bernoulli - Zahlen.)

Ich schreibe das mal als: [mm] S_{10}=\summe_{i=1}^{10}a_{i} [/mm] wobei
[mm] a_{i}=\bruch{(4i+3)\pi}{2^{4i+1} } |\summe_{k=0}^{i}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2i+1 \\ k} *\vektor{4i+2-2k\\ 2i+1}}{2i+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2i+2-2k}*|B_{2i+2-2k}| }{2*(2i+2-2k)^{2} * (2i-2k)!})|^{2} [/mm]

Nach meiner Berechnung ist beispielsweise [mm] a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2}\approx 7.09207*10^{13} [/mm]

Weil die [mm] a_{i} [/mm] nicht - negativ sind folgt [mm] S_{10}\ge 7.09207*10^{13}. [/mm]

Nach einer Abbildung müsste aber [mm] exp(exp(S_{10})) \approx [/mm] 5 gelten.

[mm] S_{10} [/mm] sollte also ungefähr gleich 0.475... sein.

Könnte mir bitte jemand dabei helfen zu verstehen wo mein Fehler liegt ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank !

Tetsuo




















        
Bezug
Partialsumme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Sa 15.06.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo,
>  ich möchte die folgende Partialsumme [mm]S_{10}[/mm] berechnen.
>  [mm]S_{10}=\summe_{m=0}^{10} \bruch{(4m+3)\pi}{2^{4m+1} } |\summe_{k=0}^{m}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2m+1 \\ k} *\vektor{4m+2-2k\\ 2m+1}}{2m+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2m+2-2k}*|B_{2m+2-2k}| }{2*(2m+2-2k)^{2} * (2m-2k)!})|^{2}[/mm]
>  
>
> (Die [mm]B_{2m+2-2k}[/mm] sind die entsprechenden Bernoulli -
> Zahlen.)
>  
> Ich schreibe das mal als: [mm]S_{10}=\summe_{i=1}^{10}a_{i}[/mm]
> wobei
> [mm]a_{i}=\bruch{(4i+3)\pi}{2^{4i+1} } |\summe_{k=0}^{i}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2i+1 \\ k} *\vektor{4i+2-2k\\ 2i+1}}{2i+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2i+2-2k}*|B_{2i+2-2k}| }{2*(2i+2-2k)^{2} * (2i-2k)!})|^{2}[/mm]
>  
> Nach meiner Berechnung ist beispielsweise
> [mm]a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2}\approx 7.09207*10^{13}[/mm]

Der Fehler liegt vermutlich in der Berechnung dieser Summe. So genau kann man es eben nicht sagen, weil man deine exakte Rechnung nicht sieht.

>  
> Weil die [mm]a_{i}[/mm] nicht - negativ sind folgt [mm]S_{10}\ge 7.09207*10^{13}.[/mm]
>  
> Nach einer Abbildung müsste aber [mm]exp(exp(S_{10})) \approx[/mm]
> 5 gelten.
>  
> [mm]S_{10}[/mm] sollte also ungefähr gleich 0.475... sein.

Ich frage mich, ob das überhaupt stimmt. Denn rechnet man das ganze mal mit Mathematica durch, so erhält man einen ungefähren Wert von [mm] S_{10}=1,055. [/mm]


>  
> Könnte mir bitte jemand dabei helfen zu verstehen wo mein
> Fehler liegt ?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Vielen Dank !
>  
> Tetsuo

Bezug
                
Bezug
Partialsumme berechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:34 Do 20.06.2013
Autor: Tetsuo

@ Richie1401: Vielen Dank für deinen Antwort !
[mm] S_{10}=1,055 [/mm] ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit der korrekte Wert.

Wie aber kommt Mathematica auf dieses Ergebnis?

Ich würde gerne einmal etwas ausführlicher zeigen,wie ich beispielsweise [mm] a_{10} [/mm] berechnet habe.
(Könnte mir jemand sagen was Mathematica,Maple oder... dazu sagt ?)
Mir wäre es sehr wichtig zu verstehen,was ich falsch mache.
Also:

> [mm]a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2} [/mm]

[mm] =\bruch{43\pi}{2^{41}} [/mm] |  [mm] \bruch{\vektor{21\\ 0}\vektor{42 \\ 21}}{22}* log(\bruch{(2\pi)^{22}*|B_{22}| }{2*(22)^{2} * (20)!}) [/mm]
      
       - [mm] \bruch{\vektor{21\\ 1}\vektor{40 \\ 21}}{20}* log(\bruch{(2\pi)^{20}*|B_{20}| }{2*(20)^{2} * (18)!}) [/mm]
      
        [mm] +\bruch{\vektor{21\\ 2}\vektor{38 \\ 21}}{18}* log(\bruch{(2\pi)^{18}*|B_{18}| }{2*(18)^{2} * (16)!}) [/mm]

        [mm] \pm [/mm]  ...


        - [mm] \bruch{\vektor{21\\ 9}\vektor{24 \\ 21}}{4}* log(\bruch{(2\pi)^{4}*|B_{4}| }{2*(4)^{2} * (2)!}) [/mm]

         + [mm] \bruch{\vektor{21\\ 10}\vektor{22 \\ 21}}{2}* log(\bruch{(2\pi)^{2}*|B_{2}| }{2*(2)^{2} * (1)!}) |^{2} [/mm]  

[mm] =\bruch{43\pi}{2^{41}}*|-1137785890 [/mm]    
                        
       +7070602583
                        
       [mm] -1.91*10^{10} [/mm]

       [mm] +2.987*10^{10} [/mm]

       [mm] -2.975*10^{10} [/mm]

       [mm] +1.9*10^{10} [/mm]

        -8850540339

        +2220092761

        -369279490.4

        +31020647.04

        -758309.6516  [mm] |^{2} [/mm]

= [mm] \bruch{43\pi}{2^{41}}*| [/mm] -1016648038 [mm] |^{2} [/mm]

=  [mm] \bruch{43\pi}{2^{41}}* 1.03*10^{18} [/mm]

= 63493571.94

Das ist also mein (falsches) Ergebnis.
Was ist falsch ?
Ich hoffe,mir kann jemand weiterhelfen.
Vielen Dank !

Tetsuo


Bezug
                        
Bezug
Partialsumme berechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 21.07.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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