Partialsumme vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Berechne die Summe.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
Tipp: Zeige zunächst die Formel mittels vollständiger Induktion die Formel für die n-te Partialsumme:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Mit der vollständigen Induktion habe ich mir das so gedacht:
Induktionsanfang:
für s = 1 gilt:
[mm] s_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Induktionsschluss:
Es gelte: [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] für ein n.
Daraus leite ich ab:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n + 1}{n + 1 + 1} [/mm] = [mm] \bruch{n + 1}{n + 2}
[/mm]
Beweis:
[mm] s_{n+1} [/mm] = [mm] s_{n} [/mm] + [mm] s_{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2n + n + 1}{2n + 2}
[/mm]
= [mm] \bruch{3n + 1}{2n + 2}
[/mm]
Da stimmt ja irgendwas nicht. Was sagt mir das dann aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Do 17.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo StarTraveler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du machst einen Fehler für [mm] $s_{n+1}$ [/mm] . Das muss heißen:
[mm] $s_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}+\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] s_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*(n+1+1)} [/mm] \ = \ [mm] s_n+\bruch{1}{(n+1)*(n+2)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke erstmal, damit kann ich was anfangen. Aber was ist, wenn ich jetzt nur die Formel:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1}
[/mm]
betrachte? Was habe ich dort falsch gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> danke erstmal, damit kann ich was anfangen. Aber was ist,
> wenn ich jetzt nur die Formel:
>
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n + 1}[/mm]
Daran ist gar nichts falsch, falsch war nur
[mm] s_{n+1}=s_n+s_1
[/mm]
Gruss leduart
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Okay, nur noch ein Frage:
> Du machst einen Fehler für [mm]s_{n+1}[/mm] . Das muss heißen:
>
> [mm]s_{n+1} \ = \ \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = \ \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}+\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = [red] \ s_n + \bruch{1}{(n+1)*(n+1+1)} \ [/red] = [blue] \ s_n+\bruch{1}{(k+1)*(k+2)} [/blue] [/mm]
Wie komme ich jetzt von [red] auf [blue] ist das k die selbe Iterationsvariable?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay, nur noch ein Frage:
>
> > Du machst einen Fehler für [mm]s_{n+1}[/mm] . Das muss heißen:
> >
> > [mm]s_{n+1} \ = \ \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = \ \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}+\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = [red]\ s_n + \bruch{1}{(n+1)*(n+1+1)} \[/red] = [blue]\ s_n+\bruch{1}{(k+1)*(k+2)}[/blue][/mm]
>
> Wie komme ich jetzt von auf ist das k die selbe
> Iterationsvariable?
>
Das k statt n im letzten Ausdruck ist einfach ein Tippfehler.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 17.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo StarTraveler!
Hier gibt es auch eine Alternativ-Lösung mittels  Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Damit erhält man dann für [mm] $s_n$ [/mm] eine Teleskopsumme, bei der die meisten Summanden entfallen.
Gruß
Loddar
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