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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Ableitung
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Partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Sa 12.09.2020
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe folgende Frage:
Ich habe eine stetige Funktion f(x,y) (z.B. f(x,y) = [mm] x^2 +2xy+y^2+4+4x+3y) [/mm] und ich möchte  [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] berechnen.

Ist es korrekt dass ich mit jedem der beiden Verfahren zum Ziel komme?
1.) Funktion f partiell nach x ableiten und anschließend für x = y = 0 einsetzen.

2.) Zunächst f(x,0) berechnen (hier also [mm] f(x,0)=x^2+4+4x) [/mm] und dann die Funktion nach x ableiten und dann für x = 0 einsetzen.

Ist es nur Zufall dass in meinem Beispiel bei beiden Varianten der Wert 4 entsteht ? Oder ist das immer so ?

Danke für eure Antworten !

Viele Grüße
Rubi




        
Bezug
Partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 12.09.2020
Autor: tobit09

Hallo rubi!


Beide Methoden sind korrekt.

Mit Variante 1. untersuchst du Existenz und Wert von [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$ [/mm] für $x:=0$ und $y:=0$.

Mit Variante 2. untersuchst du Existenz und Wert von [mm] $\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}$ [/mm] für $x:=0$.

Offenbar stimmen beide Ausdrücke überein.


Allgemeiner gilt:

Seien [mm] $i,n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $1\le i\le [/mm] n$.
Sei [mm] $D\subseteq\IR^n$ [/mm] eine beliebige Teilmenge und [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)\in [/mm] D$. Wir definieren

      [mm] $D_{i,x}:=\{a\in\IR\;|\;(x_1,\ldots,x_{i-1},a,x_{i+1},\ldots,x_n)\in D\}$ [/mm]

Sei [mm] $f\colon D\to\IR$ [/mm] ein beliebige Abbildung.
Dann ist $f$ genau dann partiell differenzierbar an der Stelle $x$ in der $i$-ten Koordinatenrichtung, wenn die Abbildung

     [mm] $f_{i,x}\colon D_{i,x}\to\IR,\quad a\mapsto f(x_1,\ldots,x_{i-1},a,x_{i+1},\ldots,x_n)$ [/mm]

an der Stelle [mm] $x_i$ [/mm] differenzierbar ist und in diesem Fall lautet die i-te partielle Ableitung von $f$ in $x$ gerade [mm] $f_{i,x}'(x_i)$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

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