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Hallo zusammen!
In meinem Skript wird die partielle Ableitung folgendermaßen erklärt:
f:= [mm] \vektor{f_1 \\ \vdots \\ f_n}; e_k [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f_a}{\partial x_b} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{f_a(x + h*e_b) - f_a(x)}{h}
[/mm]
soweit so klar! Ich nehme einfach den Teil [mm] f_a [/mm] und leite ihn nach [mm] x_b [/mm] ab.
Was ist aber nun, wenn f nicht in dieser vektoriellen Schreibweise gegeben ist, sondern durch einen einfachen Term? Wie würde ich [mm] \bruch{\partial f_a}{\partial x_b} [/mm] von f:= [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2*x_b [/mm] + [mm] 2x_b [/mm] bilden? Was wäre in diesem Fall [mm] f_a?
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank im Voraus!
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> Hallo zusammen!
Hallo,
das, was da in Deinem Skript steht, ist nicht so richtig segensreich.
Die partielle Ableitung ist erstmal definiert für Abbildungen aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
>
> f:= [mm][mm] \vektor{f_1 \\ \vdots \\ f_n};
[/mm]
Hier sind die [mm] f_i [/mm] solche Abbildungen.
Für diese Abbildungen [mm] f_i [/mm] kann man die partielle Ableitung nach [mm] x_k [/mm] definieren.
Wenn [mm] e_k [/mm] der k-te Einheitsvektor ist, dann ist die k-te partielle Ableitung von [mm] f_i [/mm] an der Stelle x
> [mm]\bruch{\partial f_i}{\partial x_k}[/mm](x)=
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f_i(x + h*e_k) - f_i(x)}{h}[/mm]
(Ich habe Deine Indizes, auch wenn Namen Schall und Rauch sind, mal den Konventionen entsprechend umgetauft.)
> soweit so klar! Ich nehme einfach den Teil [mm]f_i[/mm] und leite
> ihn nach [mm]x_k[/mm] ab.
Genau.
Man kann durch [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_k}[/mm](x)= [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x + h*e_k) - f(x)}{h}[/mm]
auch die k-te partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion [mm] f:\IR^m \to \IR^n [/mm] erklären.
Es ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_k}(x)=\vektor{\bruch{\partial f_1}{\partial x_k}(x)\\\bruch{\partial f_2}{\partial x_k}(x)\\\vdots\\\bruch{\partial f_n}{\partial x_k}(x)}
[/mm]
> Was ist aber nun, wenn f nicht in dieser vektoriellen
> Schreibweise gegeben ist, sondern durch einen einfachen
> Term?
Die partielle Ableitung ist, wie gesagt, erklärt für Funktionen aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
Die partielle Ableitung z.B. von f nach [mm] x_3 [/mm] ist für [mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=2x_1x_2 [/mm] + [mm] 3x_2x_3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})=3x_2
[/mm]
Gruß v. Angela
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D.h. es gibt für [mm] f(x)=2x_1x_2+ 3x_2x_3 [/mm] gar kein [mm] \bruch{\partial f_1}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}) [/mm] und kein [mm] \bruch{\partial f_2}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}) [/mm] und [mm] \bruch{\partial f_3}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}) [/mm] sondern nur [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})?
[/mm]
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Hallo
> D.h. es gibt für [mm]f(x)=2x_1x_2+ 3x_2x_3[/mm] gar kein
> [mm]\bruch{\partial f_1}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})[/mm]
> und kein [mm]\bruch{\partial f_2}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial f_3}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})[/mm]
> sondern nur [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_3}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})?[/mm]
>
>
Du hast eine Funktion in 3 Variabeln [mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] 2x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{2}x_{3}
[/mm]
Die partielle Ableitungen sind [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}}, \bruch{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{3}}.
[/mm]
Hast du eine Vektorwertige Funktion in mehreren Variabeln, dann sind die partielle Ableitungen die Ableitung jeder "Teilfunktion" [mm] f_{i} [/mm] nach jeder Variabel [mm] x_{j}. [/mm] In diesem Beispiel hier hast du nur eine Funktion f, also gibts nur die abzuleiten.
Grüsse, Amaro
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