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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Ableitung / Existenz
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Partielle Ableitung / Existenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 So 20.02.2011
Autor: Balsam

Hallo,

wie überprüfe ich, ob die partiellen Ableitungen in f (0,0) existieren ?

Benutze ich dafür dieses ?

$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] $

wenn jetzt meine Funktion, die ich nach x abgeleitet habe, so aussieht:
[mm] \bruch{2xy^{2}}{(x²+y²)²} [/mm]


        
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Partielle Ableitung / Existenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 So 20.02.2011
Autor: leduart

Hallo
wie du leicht siehst ist deine allgemeine Abl für (0,0) nicht definiert, du musst also schon die GW Betrachtung machen. ist die fkt denn stetig (0,9)
Gruss leduart


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Partielle Ableitung / Existenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 So 20.02.2011
Autor: Balsam

Mache ich die Gw-Betrachtung mit l´Hospital oder mit f(1/n,1/n) ?

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Partielle Ableitung / Existenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 20.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Mache ich die Gw-Betrachtung

welche?

Die für Stetigkeit oder die für Diffbarkeit?

> mit l´Hospital

Nein

> oder mit
> f(1/n,1/n) ?

Das wäre eine Testfolge, um Stetigkeit in [mm](0,0)[/mm] zu widerlegen ...

Irgendwie ist gar nicht klar, was du eigentl. vorhast.

Poste mal die Ausgangsfunktion.

Die Ableitungsfunktion(?), die du oben gepostet hast, ist ja allenfalls eine für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm]

Diffbarkeit der (uns unbekannten) Ausgangsfunktion in [mm](0,0)[/mm] müsstest du über die Definition prüfen.

Prüfe zunächst auf Stetigkeit, denn: wenn nicht stetig, dann nicht diffbar.

Aber poste mal die Ausgansfkt.

Gruß

schachuzipus




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Partielle Ableitung / Existenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 So 20.02.2011
Autor: Balsam

Okay also meine Ausgangsfunktion ist diese

$ [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2},(x,y) \not= [/mm] $ (0,0)

[mm] f_{x}(x,y)= [/mm] $ [mm] \bruch{2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] $

[mm] f_{y}(x,y)= [/mm] $ [mm] \bruch{-2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] $

Und die Aufgabe lautet:
Untersuche, ob die ersten part. Ableitungen [mm] f_{x}(0,0) [/mm] und [mm] f_{y}(0,0) [/mm] existieren.

Also müsste ich doch den linksseitigen Gw und den rechtsseitigen Gw überprüfen

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Partielle Ableitung / Existenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 So 20.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Okay also meine Ausgangsfunktion ist diese
>  
> [mm]\frac{x^2}{x^2+y^2},(x,y) \not=[/mm] (0,0)

Und [mm]f(0,0)=0[/mm] nehme ich an?

>  
> [mm]f_{x}(x,y)=[/mm]  [mm]\bruch{2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>  
> [mm]f_{y}(x,y)=[/mm]  [mm]\bruch{-2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]

[ok]

Für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] stimmt das

>  
> Und die Aufgabe lautet:
>  Untersuche, ob die ersten part. Ableitungen [mm]f_{x}(0,0)[/mm] und
> [mm]f_{y}(0,0)[/mm] existieren.
>  
> Also müsste ich doch den linksseitigen Gw und den
> rechtsseitigen Gw überprüfen

Naja, was heißt im mehrdimensionalen linksseitig oder rechtsseitig?



Die Formel aus deinem ersten post ist doch gut.

Damit bestimmst du (falls ex.) [mm]f_x(0,0)[/mm] - rechne das aus.

Analog für [mm]f_y(0,0)[/mm]

Berechne dort [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]

Gruß

schachuzipus


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Partielle Ableitung / Existenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 So 20.02.2011
Autor: Balsam

$ [mm] \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} [/mm] $

mach ich das so ?
f(0)= 0 und f(h)= [mm] \bruch{2hy^{2}}{(h^{2}+y^{2})^{2}} [/mm]

an der Umsetzung hakt es noch bei mir...

Bezug
                                                        
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Partielle Ableitung / Existenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 20.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
>  
> mach ich das so ?
>  f(0)= 0 und f(h)= [mm]\bruch{2hy^{2}}{(h^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]

f hat als Argumente Vektoren [mm](x,y)[/mm] !

Es ist [mm]\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h}[/mm]

Und das strebt für [mm]h\to 0[/mm] gegen [mm]\infty[/mm], also ex. [mm]f_x(0,0)[/mm] nicht

Für [mm]f_y(0,0)[/mm] berechne [mm]\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{0^2}{0^2+h^2}-0}{h}=\frac{0}{h}=0[/mm]

Und das strebt für [mm]h\to 0[/mm] gegen 0 (es ist ja schon 0) ;-)

Also [mm]f_y(0,0)[/mm] existiert und [mm]f_y(0,0)=0[/mm]


>  
> an der Umsetzung hakt es noch bei mir...

Gruß
schachuzipus




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Partielle Ableitung / Existenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 So 20.02.2011
Autor: Balsam

Vielen Dank,
habe aber noch ne Frage
für x
$ [mm] \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h} [/mm] $

bei der 2.Gleichung müsste es wahrscheinlich f(h,0) heißen oder?

Und kannst du mir erklären, wie du auf $ [mm] {\frac{h^2}{h^2+0^2}-0} [/mm] $ gekommen bist.

Danke:)

Bezug
                                                                        
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Partielle Ableitung / Existenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 So 20.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Vielen Dank,
>  habe aber noch ne Frage
>  für x
>  
> [mm]\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h}[/mm]
>  
> bei der 2.Gleichung müsste es wahrscheinlich f(h,0)
> heißen oder?

Ja, stimmt, ich wollte verdeutlichen, wieso da im Zähler [mm]f(h,0)-f(0,0)[/mm] steht und dass es sich aus $f(0+h,0)-f(0,0)$ ergibt

>  
> Und kannst du mir erklären, wie du auf
> [mm]{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}[/mm] gekommen bist.

Nun, es ist [mm]f(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}[/mm] für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] und [mm]f(0,0)=0[/mm] (letzteres habe ich angenommen - du hast nix dazu gesagt)

Damit setze für [mm]f(h,0)[/mm] für [mm]x=h[/mm] und für [mm]y=0[/mm] ein in die Funktionsvorschrift.

Falls [mm]f(0,0)\neq 0[/mm], musst du die Rechnung ([mm]...-0[/mm]) entsprechend anpassen

>
> Danke:)

Bitte!

Gruß

schachuzipus


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