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| Aufgabe | Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen
f(x,y) = [mm] cos(x)y^2 [/mm] - [mm] e^{2sin(y)}
[/mm]
Gesucht: [mm] f_x(x,y), f_{xx}(x,y), f_y(x,y), f_{yy}(x,y), f_{xy}(x,y) [/mm] |
Ich habe lediglich eine Vermutung für [mm] f_y
[/mm]
nämlich [mm] f_y [/mm] (x,y) = 2cos(x)y - [mm] e^{2sin(y)} \cdot [/mm] (2sin(y)) = 2cos(x)y - [mm] e^{2sin(y)} \cdot [/mm] 2sin(y)
und [mm] f_{yy} [/mm] = 2cos(x) - ???
Die einfachen partiellen Ableitung sind kein Problem, aber hier komme ich einfach nicht weiter. Wer kann mir schrittweise erklären, wie ich auf die Ableitungen komme?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo stonefree,
> Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen
> f(x,y) = [mm]cos(x)y^2[/mm] - [mm]e^{2sin(y)}[/mm]
> Gesucht: [mm]f_x(x,y), f_{xx}(x,y), f_y(x,y), f_{yy}(x,y), f_{xy}(x,y)[/mm]
>
> Ich habe lediglich eine Vermutung für [mm]f_y[/mm]
> nämlich [mm]f_y[/mm] (x,y) = 2cos(x)y - [mm]e^{2sin(y)} \cdot[/mm] (2sin(y)) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du die innere Ableitung "verbasselt"
Wenn du partiell nach einer Variablen ableitest, sind alle anderen Variablen wie Konstante zu behandeln, denke dir, dort stünden Zahlen ...
Einfacher ist die partiele Ableitung nach x, wobei y konstant ist
[mm] $f(x,y)=cos(x)y^2-e^{2sin(y)}$
[/mm]
Das ist ne Summe, wird also primär nach der Summenregel abgeleitet, der hintere Summand ist gar nicht von x abhängig, da steht also bloß eine Konstante.
Also ist die partielle Ableitung nach x: [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f_x(x,y)=-\sin(x)\cdot{}y^2-0=-y^2\sin(x)$
[/mm]
Klar?
Die partielle Ableitung nach y ist etwas komplizierter, beide Summanden hängen von y ab, der erste ist problemlos, den zweiten musst du mit der Kettenregel verarzten:
[mm] $f_y(x,y)=\cos(x)\cdot{}2y-\underbrace{e^{2\sin(y)}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{2\cos(y)}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
> = 2cos(x)y - [mm]e^{2sin(y)} \cdot[/mm] 2sin(y)
> und [mm]f_{yy}[/mm] = 2cos(x) - ???
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> Die einfachen partiellen Ableitung sind kein Problem, aber
> hier komme ich einfach nicht weiter. Wer kann mir
> schrittweise erklären, wie ich auf die Ableitungen komme?
Ich hoffe, das Prinzip ist nun klar und du bekommst die zweiten partiellen Ableitungen selber hin ...
Versuch's mal ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus
Vielen Dank für die schnellen Antworten und Hilfestellungen!
Soweit konnte ich Deine Erklärungen nachvollziehen.
Jedoch frage ich mich nun, wie ich [mm] -y^2 [/mm] sin(x) wiederum nach x ableiten kann. Gut, sin(x) abgeleitet ist cos(x), aber wie gehe ich mit dem [mm] -y^2 [/mm] davor um?
[mm] f_y [/mm] (2cos(x)y...) nochmals abgeleitet nach y ist dann vorn 2cos(x) ?. Der hintere Teil nach dem Subtraktionszeichen wird dann nach der Produktregel abgeleitet? Ich denke, an dieser Stelle hapert es bei mir wieder..
[mm] e^{2sin(y)} \cdot [/mm] 2cos(y) + [mm] e^{2sin(y)} \cdot [/mm] (-2sin(y)) ????
Und noch eine allgemeine Frage.. Die abgeleitete [mm] f_{xy} [/mm] Funktion. Ist das die [mm] f_x [/mm] Funktion nochmals nach y abgeleitet (oder anders herum)?
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Hi Stone...
Ich kenn mich mit den Zeichen hier nich so aus ,versuch es abba einfach mal so...Wie du schon gelesen hast,betrachtest du die jeweilige Variable nach der NICHT abgeleitet wird ,wie eine konstante Zahl sprich [mm] -y^2*sin(x)nach [/mm] x ist quasi dasselbe wie -456*sin(x) nach x!Und was machst du wenn du es ableitest?aus [mm] -y^2*sin(x) [/mm] wird nat. [mm] -y^2*cos(x),denn [/mm] aus y*x nach x ,würde ja auch y werden!!!Klar?
Ebenso verhält es sich mit der anderen Variablen in deiner 2ten Frage: fy wäre 2*cos(x)*Y-(2*cos(y))*ehoch2*sin(y)...
Denn das ist ja das Besondere an der e-Funktion...
Und zu 3: fxy bedeutet erst nach x ableiten und dann die Ableitung widerum nach y ableiten!!
Ich hoffe trotz dem Zeichenwirrwarr hast du es verstanden?!!
LG Basti
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Ach und fyy hast du nat richtig gemacht 
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