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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Partielle DGL mit Laplace löse
Partielle DGL mit Laplace löse < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Partielle DGL mit Laplace löse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 So 26.09.2010
Autor: Boki87

Aufgabe
Lösen sie die Differentialgleichung y''+3y'+2y=2u'+u mit Hilfe der Laplace Transformation für folgende Eingänge u(t):

a) u(t)=0
b) [mm] u(t)=\delta(t) [/mm]
c) u(t)=h(t)
d) [mm] u(t)=e^{at}. [/mm] Welche Anfangsbedingung des Eingangs u(0-) ist hier sinnvoll?

Nehmen sie verschwindende Anfangbedingungen, d.h. y'(0-)=0, y(0-)=0 an.



Hallo

zur a)
ich habe zunächst den Differationssatz benutzt:

[mm] s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=0 [/mm]

Da mein u(t)=0, ist auch mein U'(t)=0.

Stimmt das soweit?

Und daraus folgt y(t)=0

zur b)

Auch hier habe ich den Differationssatz benutzt:

[mm] s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=U(s) [/mm]

Da mein [mm] u(t)=\delta(t), [/mm] ist mein U(s)=1
u'(t)=0

Nach Y(s) umgeformt ergibt sich:

[mm] Y(s)=\bruch{1}{s^{2}+3s+2} [/mm]

Die Nullstellen sind:

[mm] s_{1}=-2 [/mm]
[mm] s_{2}=-1 [/mm]

Dann mach ich eine Partialbruchzerlegung:

[mm] \bruch{1}{s^{2}+3s+2}=\bruch{A}{s+2}+\bruch{B}{s+1} [/mm]

1=B(s+2)+A(s+1)
1=Bs+2B+As+A
1=(A+B)s+2B+A

Daraus ergeben sich die Bedingungen:

A+B=0
A+2B=1

A=-1
B=1

Eingesetzt:

[mm] \bruch{1}{s+1}-\bruch{1}{s+2} [/mm]

Und als Lösung habe ich dann:

[mm] y(t)=e^{-t}-e^{-2t} [/mm]

Aber laut Musterlösung ist das richtige Ergebnis:

[mm] y(t)=-e^{-t}+3*e^{-2t} [/mm]

Wo ist denn mein Fehler?

Vielen Dank

        
Bezug
Partielle DGL mit Laplace löse: Differentiationssatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 So 26.09.2010
Autor: Infinit

Hallo,
für die rechte Seite musst Du auch den Differentiationssatz anwenden. Damit entsteht auch ein Faktor in s für den Koeffizientenvergleich.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
        
Bezug
Partielle DGL mit Laplace löse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 So 26.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Boki87,

> Lösen sie die Differentialgleichung y''+3y'+2y=2u'+u mit
> Hilfe der Laplace Transformation für folgende Eingänge
> u(t):
>  
> a) u(t)=0
>  b) [mm]u(t)=\delta(t)[/mm]
>  c) u(t)=h(t)
>  d) [mm]u(t)=e^{at}.[/mm] Welche Anfangsbedingung des Eingangs u(0-)
> ist hier sinnvoll?
>  
> Nehmen sie verschwindende Anfangbedingungen, d.h. y'(0-)=0,
> y(0-)=0 an.
>  
>
> Hallo
>  
> zur a)
>  ich habe zunächst den Differationssatz benutzt:
>  
> [mm]s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=0[/mm]
>  
> Da mein u(t)=0, ist auch mein U'(t)=0.
>  
> Stimmt das soweit?


Ja. [ok]


>  
> Und daraus folgt y(t)=0
>  
> zur b)
>  
> Auch hier habe ich den Differationssatz benutzt:
>  
> [mm]s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=U(s)[/mm]
>  
> Da mein [mm]u(t)=\delta(t),[/mm] ist mein U(s)=1
>  u'(t)=0


Hier ist [mm]u'\left(t\right)=\delta'\left(t\right)[/mm]

Die Laplace-Transformierte hiervon ist "s"

( Siehe auch: []Korrespondenztabelle )


> Nach Y(s) umgeformt ergibt sich:
>  
> [mm]Y(s)=\bruch{1}{s^{2}+3s+2}[/mm]

Demnach muss hier stehen:

[mm]Y(s)=\bruch{2\red{s}+1}{s^{2}+3s+2}[/mm]


>  
> Die Nullstellen sind:
>  
> [mm]s_{1}=-2[/mm]
>  [mm]s_{2}=-1[/mm]
>  
> Dann mach ich eine Partialbruchzerlegung:
>  
> [mm]\bruch{1}{s^{2}+3s+2}=\bruch{A}{s+2}+\bruch{B}{s+1}[/mm]
>  
> 1=B(s+2)+A(s+1)
>  1=Bs+2B+As+A
>  1=(A+B)s+2B+A
>  
> Daraus ergeben sich die Bedingungen:
>  
> A+B=0
>  A+2B=1
>  
> A=-1
>  B=1
>  
> Eingesetzt:
>  
> [mm]\bruch{1}{s+1}-\bruch{1}{s+2}[/mm]
>  
> Und als Lösung habe ich dann:
>  
> [mm]y(t)=e^{-t}-e^{-2t}[/mm]
>  
> Aber laut Musterlösung ist das richtige Ergebnis:
>  
> [mm]y(t)=-e^{-t}+3*e^{-2t}[/mm]
>  
> Wo ist denn mein Fehler?
>  
> Vielen Dank


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Partielle DGL mit Laplace löse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 So 26.09.2010
Autor: Boki87

Hi Leute,

vielen Dank soweit.

Noch eine Frage hätte ich, wenn ich für [mm] \delta'{t} [/mm] keine Korrespondenz in meiner Tabelle habe, kann ich ja dann auch rechts den Differationsansatz machen.

Dann habe ich:

[mm] \(2(s*U(s)-u(0))+U(s) [/mm]

Woher weiß ich denn genau was mein u(0) ist?

Setzt ich dann einfach t=0 ein?

Das wäre dann bei b) einfach [mm] \delta(0) [/mm] und bei c) h(0).

Aber bei d) kann man sich aussuchen ob u(0)=0 oder u(0)=1 ist.

Könnte mir des noch jemand kurz erklären.

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Partielle DGL mit Laplace löse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 So 26.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Boki87,

> Hi Leute,
>  
> vielen Dank soweit.
>  
> Noch eine Frage hätte ich, wenn ich für [mm]\delta'{t}[/mm] keine
> Korrespondenz in meiner Tabelle habe, kann ich ja dann auch
> rechts den Differationsansatz machen.


Ja.


>  
> Dann habe ich:
>  
> [mm]\(2(s*U(s)-u(0))+U(s)[/mm]
>  
> Woher weiß ich denn genau was mein u(0) ist?


Die Definition der Deltra-Distribution ist

[mm]\delta\left(f\right)=f\left(0\right)[/mm]

Da f die Nullfunktion ist, bleibt [mm]\delta\left(0\right)=0\left(0\right)=0[/mm]


>  
> Setzt ich dann einfach t=0 ein?
>  
> Das wäre dann bei b) einfach [mm]\delta(0)[/mm] und bei c) h(0).


So ist es.


>  
> Aber bei d) kann man sich aussuchen ob u(0)=0 oder u(0)=1
> ist.
>  
> Könnte mir des noch jemand kurz erklären.
>  
> Vielen Dank


Gruss
MathePower

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