Partielle Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei B:={ [mm] x\in \IR^{n}: [/mm] ||x||<1 } und sei f: B [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem [mm] x=(x_{1},....,x_{n}) [/mm] existiert ein [mm] t_{0} \in [/mm] (0,1) mit f(x)-f(0) = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x) [/mm] |
Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
Es soll wohl x [mm] \in [/mm] B sein.
> existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> soll.
Sei x [mm] \in [/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm] \in [/mm] [0,1].
Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz g(1)-g(0) an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
>
>
> Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es korrigiert.
>
>
>
> > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> >
> > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > soll.
>
> Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
>
> Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> g(1)-g(0) an.
[mm] g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}
[/mm]
Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da [mm] x=(x_{1},....,x_{n})
[/mm]
Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm] \in [/mm] B ein [mm] t_{0} \in [/mm] (0,1) existiert.
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> >
> >
> > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
>
> Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> korrigiert.
>
> >
> >
> >
> > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > soll.
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> >
> > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > g(1)-g(0) an.
> [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
>
> Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm] B ein [mm]t_{0} \in[/mm]
> (0,1) existiert.
Was ist los ?????
Sei x [mm] \in [/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Es ex. ein [mm] t_0 \in [/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
Berchne doch mal [mm] g'(t_0) [/mm] !!!!!
FRED
> >
> > FRED
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > >
> > >
> > > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
> >
> > Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> > korrigiert.
> >
> > >
> > >
> > >
> > > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > > soll.
> > >
> > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> > >
> > > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > > g(1)-g(0) an.
> > [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
> >
> > Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm] B ein
> [mm]t_{0} \in[/mm]
> > (0,1) existiert.
>
> Was ist los ?????
>
> Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
>
> Berchne doch mal [mm]g'(t_0)[/mm] !!!!!
[mm] g'(t_{0}) [/mm] = [mm] f'(t_{0}*x)*x
[/mm]
Das ist mir klar. Aber wie schreibe ich das im mehrdimensionalen auf. Sorry, aber ich kann es mir gerade echt nicht vorstellen wie ich das machen kann.
>
> FRED
> > >
> > > FRED
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
> > >
> > > Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> > > korrigiert.
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > > > soll.
> > > >
> > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> > > >
> > > > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > > > g(1)-g(0) an.
> > > [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
> > >
> > > Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm] B ein
> > [mm]t_{0} \in[/mm]
> > > (0,1) existiert.
> >
> > Was ist los ?????
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1]
> >
> > Es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
>
> >
> > Berchne doch mal [mm]g'(t_0)[/mm] !!!!!
>
> [mm]g'(t_{0})[/mm] = [mm]f'(t_{0}*x)*x[/mm]
>
> Das ist mir klar. Aber wie schreibe ich das im
> mehrdimensionalen auf. Sorry, aber ich kann es mir gerade
> echt nicht vorstellen wie ich das machen kann.
Du hast doch schon alles !!!!
Es ist
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot{}(t_{0}\cdot{}x) =f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)$
[/mm]
Fertig !
FRED
>
> >
> > FRED
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > > > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
> > > >
> > > > Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> > > > korrigiert.
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > > > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > > > > soll.
> > > > >
> > > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> > > > >
> > > > > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > > > > g(1)-g(0) an.
> > > > [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
> > > >
> > > > Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm] B
> ein
> > > [mm]t_{0} \in[/mm]
> > > > (0,1) existiert.
> > >
> > > Was ist los ?????
> > >
> > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1]
> > >
> > > Es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Berchne doch mal [mm]g'(t_0)[/mm] !!!!!
> >
> > [mm]g'(t_{0})[/mm] = [mm]f'(t_{0}*x)*x[/mm]
> >
> > Das ist mir klar. Aber wie schreibe ich das im
> > mehrdimensionalen auf. Sorry, aber ich kann es mir gerade
> > echt nicht vorstellen wie ich das machen kann.
>
> Du hast doch schon alles !!!!
>
> Es ist
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot{}(t_{0}\cdot{}x) =f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)[/mm]
>
> Fertig !
Aber ich habe doch nur gezeigt, dass [mm] f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0) [/mm] und nicht, dass das auch gleich der Summe ist. :-(
>
> FRED
> >
> > >
> > > FRED
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > > > > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
> > > > >
> > > > > Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> > > > > korrigiert.
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > > > > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
>
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> > >
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> > > > > >
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> > > > > > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > > > > > soll.
> > > > > >
> > > > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> > > > > >
> > > > > > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > > > > > g(1)-g(0) an.
> > > > > [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
> > > > >
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> > > > > Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > > Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm]
> B
> > ein
> > > > [mm]t_{0} \in[/mm]
> > > > > (0,1) existiert.
> > > >
> > > > Was ist los ?????
> > > >
> > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1]
> > > >
> > > > Es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
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> > > >
> > > > Berchne doch mal [mm]g'(t_0)[/mm] !!!!!
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> > > [mm]g'(t_{0})[/mm] = [mm]f'(t_{0}*x)*x[/mm]
> > >
> > > Das ist mir klar. Aber wie schreibe ich das im
> > > mehrdimensionalen auf. Sorry, aber ich kann es mir gerade
> > > echt nicht vorstellen wie ich das machen kann.
> >
> > Du hast doch schon alles !!!!
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot{}(t_{0}\cdot{}x) =f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)[/mm]
>
> >
> > Fertig !
> Aber ich habe doch nur gezeigt, dass
> [mm]f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)[/mm] und nicht, dass das auch
> gleich der Summe ist. :-(
ÄÄÄHmmmm... ist das Dein Ernst ??
Was verstehst Du denn unter [mm] $f'(t_{0}*x)*x$ [/mm] ?
FRED
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> > FRED
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> > > > FRED
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> > > > > > FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > > > Sei [mm]B:={x\in \IR^{n}: ||x||<1}[/mm] und sei f: B [mm]\to \IR[/mm] eine
> > > > > > > differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Zu jedem
> > > > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Es soll wohl x [mm]\in[/mm] B sein.
> > > > >
> > > > > Die Mengenklammer wurde nichz angezeigt, ich habe es
> > > > > korrigiert.
> > > > >
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> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > existiert ein [mm]t_{0} \in[/mm] (0,1) mit
> > > > > > > f(x)-f(0) = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}*\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}*(t_{0}*x)[/mm]
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> > > > > > > Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehen
> > > > > > > soll.
> > > > > >
> > > > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1].
> > > > > >
> > > > > > Wende den eindimensionalen Mittelwertsatz auf die Differenz
> > > > > > g(1)-g(0) an.
> > > > > [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm]
> > > > >
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> > > > > Ah ok, ich sehe es. Die Summe kommt daher, da
> > > > > [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> > > > > Aber wie zeige ich jetzt, dass zu jedem x [mm]\in[/mm]
> B
> > ein
> > > > [mm]t_{0} \in[/mm]
> > > > > (0,1) existiert.
> > > >
> > > > Was ist los ?????
> > > >
> > > > Sei x [mm]\in[/mm] B und g(t):=f(tx) für t [mm]\in[/mm] [0,1]
> > > >
> > > > Es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] (0,1) mit [mm]g'(t_{0})= \bruch{g(1)-g(0)}{1-0}=f(x)-f(0)[/mm]
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> > > > Berchne doch mal [mm]g'(t_0)[/mm] !!!!!
> > >
> > > [mm]g'(t_{0})[/mm] = [mm]f'(t_{0}*x)*x[/mm]
> > >
> > > Das ist mir klar. Aber wie schreibe ich das im
> > > mehrdimensionalen auf. Sorry, aber ich kann es mir gerade
> > > echt nicht vorstellen wie ich das machen kann.
> >
> > Du hast doch schon alles !!!!
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot{}(t_{0}\cdot{}x) =f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)[/mm]
>
> >
> > Fertig !
> Aber ich habe doch nur gezeigt, dass
> [mm]f'(t_{0}*x)*x=g'(t_0)=f(x)-f(0)[/mm] und nicht, dass das auch
> gleich der Summe ist. :-(
es ist [mm] $g(t)=g_x(t):=f(t*x)\,.$ [/mm] (Beachte $f [mm] \colon \IR^n \supseteq [/mm] B [mm] \to \IR\,,$ [/mm] und
für $x [mm] \in [/mm] B$ und $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1$ ist auch $t*x [mm] \in B\,;$ [/mm] insbesondere [mm] $g_x \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$). [/mm]
Kennst Du die
![[]](/images/popup.gif) Kettenregel (Satz 19.15)?
Damit
[mm] $g'(t)=\frac{d}{dt}g(t)=\frac{d}{dt}(f \circ h)(t)=J_f(h(t))*J_h(t)$ [/mm]
mit [mm] $h(t)=h_x(t):=t*x$ [/mm] und [mm] $h=h_x \colon [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] B [mm] \subseteq \IR^n\,.$
[/mm]
Dabei ist [mm] $J_f=(\nabla f)^T$ [/mm] eine $1 [mm] \times [/mm] n$-Matrix (Zeilenvektor mit [mm] $n\,$ [/mm] Einträgen) und
[mm] $J_h(t)=x\,$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] 1$-Matrix (Spaltenvektor mit [mm] $n\,$ [/mm] Einträgen).
Wie sieht [mm] $\nabla [/mm] f$ aus? Was ist demnach [mm] $\nabla [/mm] f (h(t))$ (also [mm] $\nabla [/mm] f$ ausgewertet an der
Stelle $h(t)$)?
Also
[mm] $g'(t_0)=J_f(h(t_0)) \cdot J_h(t_0)=(\nabla f(h(t_0)))^T \cdot x=(\nabla f(t_0*x))^T*x=...$
[/mm]
Das solltest Du nun aber wirklich sehen, oder?!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
Oh je. Ja klar, das war gerade peinlich, aber ich habs nicht gesehen. Danke euch beiden für die Geduld! 
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