Partielle Differentialgleichun < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 27.05.2008 | | Autor: | her_mann |
Frage erledigt
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich möchte eine partielle Differentialgleichung in
> Zylinderkoordinaten mit Randbedingungen lösen. Da meine
> Funktion nur von zwei Variablen abhängt, habe ich 4 Ränder
> und somit 4 Konstanten.
>
> Die partielle DGL lautet:
> [mm]
\frac{d^2}{d r^2} p \left( r,z \right) + \frac{1}{r}\frac{d}{d r}p \left( r,z \right) + \frac{d^2}{d z^2} p \left( r,z \right)- \frac {p \left( r,z \right) }{L^2}&=0
[/mm]
>
> Als Separationsansatz wähle ich [mm]p(r,z) = f(r)\cdot g(z)[/mm].
> Anschließend wird die gesamte DGL durch [mm]f(r)\cdot g(z)[/mm]
> dividiert. Damit teilt sich die DGL in zwei voneinander
> unabhängige Teile auf
> [mm]
\underbrace{\frac{1}{f(r)}\frac{d^2}{d r^2} f(r) + \frac{1}{r\cdot f(r)}\frac{d}{d r}f(r)}_{\frac{1}{v^2}} + \underbrace{\frac{1}{g(z)}\frac{d^2}{d z^2} g(z)- \frac {1}{L^2}}_{-\frac{1}{v^2}}&=0
[/mm]
>
> wobei die Terme für [mm]r[/mm] bzw. [mm]z[/mm] jeweils konstant sein müssen,
> damit die DGL erfüllt wird. Als Konstante wähle ich hier
> [mm]\frac{1}{v^2}[/mm], damit die spätere Rechnung übersichtlicher
> wird.
>
> Meine erste Frage: Kann ich Lösungen "vernachlässigen",
> wenn ja, unter welchen Bedingungen? Ich meine: Es ergeben
> sich für die z-Abhängigkeit unterschiedliche Lösungen für
> [mm]v=L[/mm] und [mm]v\uneq L[/mm].
>
> Bisher betrachte ich nur die Fälle [mm]v\uneq L[/mm], weil sonst
> meine [mm]z[/mm]-Abhängigkeit einen nicht erwarteten Verlauf hätte.
>
> Als Lösung erhalte ich somit:
> [mm]
f(r) &= \tilde{A}_1\cdot I_0\left(\frac{r}{v}\right) + \tilde{A}_2 \cdot K_0\left(\frac{r}{v}\right)
[/mm]
>
> und
>
> [mm]
g(z) &= \tilde{B}_1\cdot \cosh\left(\sqrt{\frac {1}{L^2} -\frac{1}{v^2}}\cdot z \right) - \tilde{B}_2\cdot \sinh\left(\sqrt{\frac {1}{L^2} -\frac{1}{v^2}}\cdot z \right)
[/mm]
>
> Mit der Abkürzung [mm]\frac{1}{w} = \sqrt{\frac {1}{L^2} -\frac{1}{v^2}}[/mm]
> erhalte damit als Lösung [mm]p(r,z)[/mm]:
> [mm]
p(r,z) = f(r)\cdot g(z) &= C\cdot\left[I_0\left(\frac{r}{v}\right) + A \cdot K_0\left(\frac{r}{v}\right)\right]\cdot
\left[ \cosh\left(\frac{z}{w} \right) - B\cdot \sinh\left(\frac{z}{w} \right) \right]
[/mm]
>
> Also 4 Konstanten [mm]A, B, C, v[/mm] oder ist der Parameter [mm]v[/mm] nicht
> als Konstante zu sehen, die über Randbedingungen zu lösen
> ist?
>
> Meine Randbedingungen lauten hier nun:
>
> [mm]
D\cdot\left.\frac{d}{d r}p(r,z)\right|_{r=r_2} &= S\cdot p(r_2,z)[/mm]
>
> [mm]D\cdot\left.\frac{d}{d r}p(r,z)\right|_{r=r_1} &= 0[/mm]
>
> [mm]D\cdot\left.\frac{d}{d z}p(r,z)\right|_{z=W} &= S\cdot p(r,W)[/mm]
>
> [mm]p(r_0,0) &= p_0
[/mm]
>
> Diese Randbedingungen sind physikalisch korrekt, führen
> aber zu keiner Lösung für die Konstanten. Ich tappe nun
> etwas im Dunkeln, habe ich bei der Lösung der DGL einen
> Fehler gemacht? Oder muss ich schon von vornherein Annahmen
> an die Lösungen der DGL machen, z.B. indem ich den
> Parameter [mm]v[/mm] fest setze? Dann hätte ich aber nur 3
> Konstanten für 4 Randbedingungen.
>
> Habe ich etwas zu unverständlich geschrieben? Bitte
> nachfragen !
habe erstmal nur eine nachfrage: was fuer ein physikalisches phaenomen beschreibt denn die PDG? bin leider nicht so firm, wenn die PDG in nicht-euklidischen koordinaten gegeben ist. Wuerde denken, dass es einfach eine poisson (laplace) -gleichung ist. in diesem fall wuerden mich vielleicht die hyperbolischen funktionen in der loesung stutzig machen, aber alles der reihe nach...
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 02.06.2008 | | Autor: | her_mann |
erledigt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Do 05.06.2008 | | Autor: | her_mann |
fragestellung erübrigt
|
|
|
|
