Partielle Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 10.05.2007 | | Autor: | Mischung |
Hallo!
Habe Probleme mit einer Aufgabe, bei der es sich um Partielle Differentiation handeln soll.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gegeben sei die Fläche z=f(x,y)=xy-x-y
Den Anstieg der Fläche im Punkt (0,0) in Richtung [mm] \alpha [/mm] (Winkel zur x-Achse) erhält man durch Differenzieren von f (x,y) längs des Weges
x(t)= t cos [mm] \alpha
[/mm]
y(t)= t sin [mm] \alpha
[/mm]
a) Berechnen sie die vom Punkt (0,0) aus zurückgelegte Wegstrecke als Funktion von t.
b) In welche Richtugn steigt die Fläche im Punkt (0,0) am stärksten an, in welche Richtung fällt sie am stärksten ab?
Also zu Aufgabe a) hatte ich folgende Idee, die wahrscheinlich falsch sein wird.
Man soll die zurückgelegte Strecke eines Punktes zu (0,0) bestimmen.
Diesem Punkt hab ich dann den Vektor (t cos [mm] \alpha [/mm] , t sin [mm] \alpha) [/mm] zugeordnet und dann den Betrag dieses Vektor bestimmt.
Also folgt daraus die Funktion für die Strecke,
[mm] s(t)=t*\wurzel{cos² \alpha + sin² \alpha }
[/mm]
Das Problem ist, dass ich damit ja nur den Abstand zum Usprung und nicht die zurückgelegte Strecke berechnet habe.
zu b) Ich habe den Gradienten bestimmt (hab ich heute auch zum ersten Mal von gehört) zum Punkt (0,0):
Gradient= (y-1 , x-1) (Vektor)
Weiß nun nicht genau, welche Aussage dieser Gradient nun hat und wie ich damit meine Aufgabe lösen kann.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!!
Vielen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo!
>
> Habe Probleme mit einer Aufgabe, bei der es sich um
> Partielle Differentiation handeln soll.
>
> Die Aufgabe lautet wie folgt:
>
> Gegeben sei die Fläche z=f(x,y)=xy-x-y
>
> Den Anstieg der Fläche im Punkt (0,0) in Richtung [mm]\alpha[/mm]
> (Winkel zur x-Achse) erhält man durch Differenzieren von f
> (x,y) längs des Weges
> x(t)= t cos [mm]\alpha[/mm]
> y(t)= t sin [mm]\alpha[/mm]
>
> a) Berechnen sie die vom Punkt (0,0) aus zurückgelegte
> Wegstrecke als Funktion von t.
> b) In welche Richtugn steigt die Fläche im Punkt (0,0) am
> stärksten an, in welche Richtung fällt sie am stärksten
> ab?
>
> Also zu Aufgabe a) hatte ich folgende Idee, die
> wahrscheinlich falsch sein wird.
> Man soll die zurückgelegte Strecke eines Punktes zu (0,0)
> bestimmen.
> Diesem Punkt hab ich dann den Vektor (t cos [mm]\alpha[/mm] , t sin
> [mm]\alpha)[/mm] zugeordnet und dann den Betrag dieses Vektor
> bestimmt.
> Also folgt daraus die Funktion für die Strecke,
> [mm]s(t)=t*\wurzel{cos² \alpha + sin² \alpha }[/mm]
> Das Problem
> ist, dass ich damit ja nur den Abstand zum Usprung und
> nicht die zurückgelegte Strecke berechnet habe.
>
das stimmt. du sollst die strecke auf der flaeche messen. setze doch einfach mal deine kurve in die funktion ein, dadurch erhaelst du eine raumkurve [mm] $\gamma$ [/mm] in abhaengigkeit von t, mit parameter [mm] $\alpha$. [/mm] Also
[mm] $\gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\f(x(t),y(t))\end{pmatrix}$
[/mm]
die kurvenlaenge kannst du nun wie gewohnt mittels
[mm] $L(\gamma)=\int \|\gamma'\|$
[/mm]
berechnen.
> zu b) Ich habe den Gradienten bestimmt (hab ich heute auch
> zum ersten Mal von gehört) zum Punkt (0,0):
>
> Gradient= (y-1 , x-1) (Vektor)
>
> Weiß nun nicht genau, welche Aussage dieser Gradient nun
> hat und wie ich damit meine Aufgabe lösen kann.
das stimmt, der gradient gibt fuer mehrdim. fkten. die richtung des steilsten anstieges an. Fuer deine fkt. in 0 waere das also [mm] $\nabla [/mm] f(0)=(-1,-1)$. Allerdings kannst du diese richtung hier auch anders bestimmen. Setze wieder x(t) und y(t) in die funktion ein und bestimme die ableitung in t=0 dieser fkt. $f(x(t),y(t))$ (die steigung!). Diese haengt auch von [mm] $\alpha$ [/mm] ab. jetzt kannst du wie gewohnt in [mm] $\alpha$ [/mm] maximieren, dh. ableiten und nullsetzen.
Was muss fuer [mm] $\alpha$ [/mm] eigentlich herauskommen? (siehe gradient)
>
> Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!!
>
> Vielen Dank!!!
>
VG
Matthias
|
|
|
|
