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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Leon25 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mittels partieller Integration [mm] \int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\, [/mm] dx |
Hallo ich habe ein Problem mit folgender Integration,
[mm] \int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\, [/mm] dx = [mm] \left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1 [/mm] - [mm] \int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\, [/mm] dx
= [mm] \left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1 [/mm] - [mm] \left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1
[/mm]
[mm] =e^1*1^2 -e^0*0^2-\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1
[/mm]
=e [mm] -(2*1*e^1-2*e^1-2*0*e^0-2*e^0)
[/mm]
=e-(-2)
=e+2
Ich muss das Integral ohne Taschenrechner ausrechnen können.
Da kommt zunächst das Problem auf dass ich Schwierigkeiten habe eine Stammfunktion für [mm] \int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\, [/mm] dx zu finden (ich hab zwar eine gefunden aber nur mit Taschenrechner) und das nächste Problem ist dass das Ergebnis falsch ist, denn wenn ich mit meinem Taschenrechner nachrechne erhalte ich e-2.
Gibt es irgendeinen Trick um Stammfunktionen zu bilden und wo liegt der Fehler in meiner Rechnung ?
Wie immer Vielen Dank an alle die mir Helfen
Gruß
Leon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 18.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie mittels partieller Integration [mm]\int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\,[/mm]
> dx
> Hallo ich habe ein Problem mit folgender Integration,
>
> [mm]\int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\,[/mm] dx = [mm]\left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1[/mm]
> - [mm]\int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\,[/mm] dx
>
> = [mm]\left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1[/mm] - [mm]\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1[/mm]
>
> [mm]=e^1*1^2 -e^0*0^2-\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1[/mm]
>
> =e [mm]-(2*1*e^1-2*e^1-2*0*e^0-2*e^0)[/mm]
>
> =e-(-2)
>
> =e+2
>
> Ich muss das Integral ohne Taschenrechner ausrechnen
> können.
> Da kommt zunächst das Problem auf dass ich
> Schwierigkeiten habe eine Stammfunktion für [mm]\int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\,[/mm]
> dx zu finden (ich hab zwar eine gefunden aber nur mit
> Taschenrechner) und das nächste Problem ist dass das
> Ergebnis falsch ist, denn wenn ich mit meinem
> Taschenrechner nachrechne erhalte ich e-2.
Das Ergebnis stimmt in der Tat
[mm] $\int\limits_{0}^{1}x^{2}\cdot e^{x}dx=e-2$
[/mm]
>
> Gibt es irgendeinen Trick um Stammfunktionen zu bilden und
> wo liegt der Fehler in meiner Rechnung ?
Du brauchst hier die doppelte partielle Integration, die Grenzen lasse ich mal der Überischt halber weg.
[mm] $\int x^{2}\cdot e^{x}dx$
[/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\int 2x\cdot e^{x}dx$
[/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\left(\left[2x\cdot e^{x}\right]-\int 2\cdot e^{x}dx\right)$
[/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\left(\left[2x\cdot e^{x}\right]-2\cdot e^{x}\right)$
[/mm]
Jetzt klammere noch [mm] e^{x} [/mm] aus und beachte die Minusklammer, dann hast du eine Stammfunktion zu [mm] $f(x)=x^{2}\cdot e^{x}$
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Leon25 |
Super, Vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
Gruß Leon
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