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| Aufgabe | Zeigen Sie durch geeignete Rechnungen, dass eine Stammfunktion von f1 wie folgt lautet:
F1(x) = [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * [(ln x)² + [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - ln x)] + C |
Hi.
Folgende Funktion war die "Urspruengliche":
f1(x) = 1 * x * (ln x)² = x * (ln x)²
An sich ja nichts schweres. Fuehrt ja im Endeffekt zur Partiellen Integration hinaus. So habe ich also weiter gerechnet:
u'(x) = x ; u(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x² ; v(x) = (ln x)² ; v'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * 2 * (ln x) = [mm] \bruch{2 (ln x)}{x}
[/mm]
So... weiter:
F1(x) = [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x² * (ln x)²) - [mm] \integral_{bla}^{bla}(\bruch{1}{2} [/mm] x² * [mm] \bruch{2 (ln x)}{x})
[/mm]
Soweit so gut, ich hab dann halt versucht die Funktion wild umzustellen um auf das obrige Ergebnis zu kommen, aber irgendwie hab ich wohl vor lauter Abilernen ein Brett vorm Kopf. Waere nett, wenn mir jemand von euch helfen koennte.
MFG Tim
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> Zeigen Sie durch geeignete Rechnungen, dass eine
> Stammfunktion von f1 wie folgt lautet:
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> F1(x) = [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm] * [(ln x)² + [mm](\bruch{1}{2}[/mm] - ln x)]
> + C
> Hi.
> Folgende Funktion war die "Urspruengliche":
>
> f1(x) = 1 * x * (ln x)² = x * (ln x)²
>
> An sich ja nichts schweres. Fuehrt ja im Endeffekt zur
> Partiellen Integration hinaus. So habe ich also weiter
> gerechnet:
>
> u'(x) = x ; u(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x² ; v(x) = (ln x)² ; v'(x)
> = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * 2 * (ln x) = [mm]\bruch{2 (ln x)}{x}[/mm]
>
> So... weiter:
>
> F1(x) = [mm](\bruch{1}{2}[/mm] x² * (ln x)²) -
> [mm]\integral_{bla}^{bla}(\bruch{1}{2}[/mm] x² * [mm]\bruch{2 (ln x)}{x})[/mm]
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> Soweit so gut, ich hab dann halt versucht die Funktion wild
> umzustellen um auf das obrige Ergebnis zu kommen, aber
> irgendwie hab ich wohl vor lauter Abilernen ein Brett vorm
> Kopf. Waere nett, wenn mir jemand von euch helfen koennte.
>
> MFG Tim
Hallo Tim,
bis hierher stimmt das schonmal,
du musst noch ein zweites Mal partiell integrieren, dann hast du es:
[mm] (\bruch{1}{2}x²\cdot{} [/mm] (ln x)²) - [mm] \integral_{bla}^{bla}(\bruch{1}{2}x²\cdit{}\bruch{2 (ln x)}{x})dx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2(ln(x))^2-\integral x\cdot{} [/mm] ln(x) dx = [mm] \bruch{1}{2}x^2(ln(x))^2-[\bruch{1}{2}x^2\cdot{} ln(x)-\integral\bruch{1}{x}\cdot\bruch{1}{2}x^2 [/mm] dx]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2(ln(x))^2-\bruch{1}{2}x^2\cdot{} ln(x)+\integral\bruch{1}{2}x [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2}x^2(ln(x))^2-\bruch{1}{2}x^2\cdot{} ln(x)+\bruch{1}{4}x^2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2\cdot{} [(ln(x))^2-ln(x)+\bruch{1}{2}]
[/mm]
ach ja, + die Konstante C 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Mi 21.02.2007 | | Autor: | evilmaker |
Vielen Dank dafuer :). Jetzt entsinne ich mich wieder.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mi 21.02.2007 | | Autor: | simonw |
> Zeigen Sie durch geeignete Rechnungen, dass eine
> Stammfunktion von f1 wie folgt lautet:
Hallo Tim!!
Ich sehe du machst dir das Leben unnötig schwer :) Diese oben zitierte Aufgabenstellung erweist sich als typisch für Abitursaufgaben im Bereich Analysis und es geht viel leichter als du denkst: Der "Trick" liegt in der Formulierung: "durch geeignete Rechnung".
Was wissen wir nun über eine Stammfunktion? Richtig, ihre Ableitung führt uns wieder zur Ursprungsfunktion. Also alles, was hier von dir verlangt wird, ist den Term abzuleiten und wieder auf die Ausgangsfunktion zu kommen. Das sparrt einiges an Aufwand!
Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen :D
bye, simonw
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