Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich möchte folgende Funktion integrieren:
[mm] $\integral{e^x*x\ \ \ dx}$ [/mm] |
Das ganze soll ich laut Übungsbuch mit partieller Integration machen, dazu habe ich aber zwei Verständnisfragen wie ich es verstanden habe:
1. Partielle Integration wird immer verwendet, wenn man ein Produkt von Funktionen hat ($f(x)*g(x)$ oder $f(x)*g(x)*h(x)$ Stimmt das? Also kann ich ein Produkt von min. zwei Funktionen nur über Partielle Integration lösen?
2. Partielle Integration wird verwendet um eine schwer zu integrierende Funktion wie $ln(x)*x$ durch partielle Integration zu vereinfachen und dann lösen zu können. Stimmt das so?
Ich möchte jetzt das folgende Integral lösen: [mm] $\integral{e^x*x\ \ \ dx}$
[/mm]
Jetzt habe ich bei dieser Aufgabe, dass ich sie "scheinbar" auf zwei Arten lösen kann, denn ich finde sowohl für die e-Funktion als auch das x ganz einfach die Stammfunktion (anders wäre es bei einem ln(x) dort finde ich nicht so einfach die Stammfunktion). Von daher bin ich jetzt hier relativ indifferent welches der beiden Funktionen ich "vereinfachen" möchte.
Ich lege es jetzt mal so fest:
[mm] $f(x)=e^x$
[/mm]
[mm] $f'(x)=e^x$
[/mm]
$g'(x)=x$
[mm] $g(x)=\bruch{1}{2}*x^2$
[/mm]
Da ich ein unbestimmtes Integral habe und daher keine Grenzen, werde ich die eckigen Klammern weg lassen:
[mm] $f(x)*g(x)-\integral{f'(x)*g(x)\ \ \ dx}$
[/mm]
[mm] $e^x*\bruch{1}{2}*x^2-\integral{e^x*\bruch{1}{2}*x^2\ \ \ dx}$
[/mm]
Stimmt das so?
Danke
Grüße thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Thomas
> Ich möchte folgende Funktion integrieren:
>
> [mm]\integral{e^x*x\ \ \ dx}[/mm]
> Das ganze soll ich laut
> Übungsbuch mit partieller Integration machen, dazu habe ich
> aber zwei Verständnisfragen wie ich es verstanden habe:
>
> 1. Partielle Integration wird immer verwendet, wenn man ein
> Produkt von Funktionen hat ([mm]f(x)*g(x)[/mm] oder [mm]f(x)*g(x)*h(x)[/mm]
> Stimmt das? Also kann ich ein Produkt von min. zwei
> Funktionen nur über Partielle Integration lösen?
nein! wenn das Produkt z. Bsp f*f' einer Funktion ist wäre das dumm. Bsp. [mm] cosx*e^{2sinx} [/mm] ist [mm] (1/2*(e^{sinx})^2 [/mm] )'
[mm] cosx*sinx=(1/2*sin^2(x))'
[/mm]
auch bei [mm] x*e^{x^2} [/mm] wär es ungeschickt, man sollte die Stammfkt direkt sehen.
umgekehr kann man eine Faktor "erfinden, Integral lnx kann man praktisch nur mit der partiellen Integration 1*lnx lösen !
> 2. Partielle Integration wird verwendet um eine schwer zu
> integrierende Funktion wie [mm]ln(x)*x[/mm] durch partielle
> Integration zu vereinfachen und dann lösen zu können.
> Stimmt das so?
Wenn es klappt, ja.
>
> Ich möchte jetzt das folgende Integral lösen:
> [mm]\integral{e^x*x\ \ \ dx}[/mm]
>
> Jetzt habe ich bei dieser Aufgabe, dass ich sie "scheinbar"
> auf zwei Arten lösen kann, denn ich finde sowohl für die
> e-Funktion als auch das x ganz einfach die Stammfunktion
> (anders wäre es bei einem ln(x) dort finde ich nicht so
> einfach die Stammfunktion). Von daher bin ich jetzt hier
> relativ indifferent welches der beiden Funktionen ich
> "vereinfachen" möchte.
Du willst ja was eifacheres haben, da du [mm] e^x [/mm] integrieren kannst willst du x loswerden, also sollte im nächsten Integral x'=1 stehen! deshalb genau umgekehrt festlegen, wie du es gemacht hast.
wenn da [mm] x^2*e^x [/mm] steht machst du erst das enfachere Integral [mm] x*e^x [/mm] draus und dann nochmal partiell integrieren.
Es gehört einfach eine gewisse Erfahrung und Übung dazu, zu erkennen, wie man zu einem einfacheren Integral kommt.
also immer erst das eine ableiten ,das andere integieren und sehen, ob das Integral einfacher wird, wenn nicht das umgekehrte probieren, wenn beides nicht zu nem einfacheren Integral führt, ne ganz andere Methode versuchen!
> Ich lege es jetzt mal so fest:
>
> [mm]f(x)=e^x[/mm]
> [mm]f'(x)=e^x[/mm]
>
> [mm]g'(x)=x[/mm]
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}*x^2[/mm]
>
>
> Da ich ein unbestimmtes Integral habe und daher keine
> Grenzen, werde ich die eckigen Klammern weg lassen:
>
> [mm]f(x)*g(x)-\integral{f'(x)*g(x)\ \ \ dx}[/mm]
>
> [mm]e^x*\bruch{1}{2}*x^2-\integral{e^x*\bruch{1}{2}*x^2\ \ \ dx}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
Das stimmt, nur bist du bei nem noch schwerer zu lösenden Integral gelandet, das hättest du schneller sehen können.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Lösen von: $ [mm] \integral{e^x\cdot{}x\ \ \ dx} [/mm] $ |
Hi leduart,
danke für die Antwort. Ich hab mir das jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen und werde mal aufschreiben wie ich mir das jetzt überlegt habe:
Standardformel: [mm] $\integral{f'(x)\cdot{}g(x)\ \ \ dx} [/mm] = [mm] f(x)\cdot{}g(x)-\integral{f(x)\cdot{}g'(x)\ \ \ dx} [/mm] $
Diese erweitere ich jetzt mal farblich und geb meine Kommentare dazu:
[mm] $\integral{f'(x)\cdot{}\red{g(x)}\ \ \ dx} [/mm] = [mm] f(x)\cdot{}\blue{g(x)}-\integral{f(x)\cdot{}\green{g'(x)}\ \ \ dx} [/mm] $
Ich nenne die Funktion g(x) mal Problemfunktion. Diese legt man als g(x) fest.
Hier ist die Problemfunktion kein Problem, da man sie nicht integrieren muss.
Hier wird die Problemfunktion komplett entschärft da man sie ableitet und später wieder integriert.
Frage zu grün, wenn ich die Funktion erst Ableite und dann Integriere bleibt die Funktion doch einfach stehen oder? Wie ich das meine erkläre ich jetzt nochmal in Einzelschritten:
Hinweis: Diese Frage bezieht sich jetzt auf die Allgemeinheit, nicht auf diesen Fall!
Angenommen [mm] $\red{g(x)=x^2}$
[/mm]
Dann bleibt [mm] $\blue{g(x)=x^2}$
[/mm]
Dann wird [mm] $\green{g(x)=x^2}$ [/mm] abgeleitet zu [mm] $\green{g'(x)=2*x}$, [/mm] wenn ich nun von dem Integral die Stammfunktion bilde dann erhalte ich wieder [mm] $\green{x^2}$.
[/mm]
Stimmen diese Überlegungen?
Für das folgende Integral $ [mm] \integral{e^x\cdot{}x\ \ \ dx} [/mm] $ mache ich es wie folgt:
[mm] $\red{g(x)=x}$ $\Rightarrow$ [/mm] $g'(x)=1$
[mm] $f(x)=e^x$ $\Rightarrow$ $f'(x)=e^x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \Rightarrow$ [/mm]
[mm] $e^x*x [/mm] - [mm] \integral{e^x * 1\ \ \ dx}$
[/mm]
[mm] $=e^x*x [/mm] - [mm] \integral{e^x\ \ \ dx}$
[/mm]
[mm] $=e^x*x [/mm] - [mm] [e^x]$
[/mm]
[mm] $=e^x*(x [/mm] - 1)$
Danke
Grüße Thomas
|
|
|
| |
|
Hallo!
Erstmal: Deine Berechnung ist nun richtig!
Dann zu deiner Frage:
Es wird doch nicht [mm] $\integral [/mm] g'(x)dx$ gebildet, da wäre das tatsächlich irgendwie unsinnig. Integriert wird über das Produkt fg', und das Ziel ist es, eben durch Aufleiten fon f' und Ableiten von g einen neuen Term zu schaffen, der INSGESAMT besser integrierbar ist.
x ist keine Problemfunktion, [mm] e^x [/mm] auch nicht, aber [mm] xe^x [/mm] ist es. Durch das Ableiten von x (und Aufleiten von [mm] e^x) [/mm] wird daraus das entschärfte PRODUKT [mm] e^x, [/mm] das sich gut integrieren läßt.
Des weiteren, deine Methode, f und g zuzuordnen, ist gut geeignet, wenn da z.B, so ein störender Faktor x steht. Aber bei anderen problematischen Produkten kann es sein, daß es umgekehrt funktioniert. Das ist wie gesagt auch Erfahrungssache.
Ein Beispiel, bei dem es übrigens völlig egal ist, ist das hier:
[mm] $\integral \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x = [...] - [mm] \integral \cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] x$
und daraus:
[mm] $2*\integral \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x = [...]$
[mm] $\integral \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x = [mm] \frac{1}{2}[...]$
[/mm]
Genauso geht es mit sin² x , allerdings muß man da zweimal part. integrieren...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Do 05.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi,
vielen Dank für die gute Erklärung! Ich werde deine beiden Beispiele mal durchrechnen und dann weiter Aufgaben üben um das schneller sehen zu können!
Danke
Grüße Thomas
|
|
|
|
