Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 So 17.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Bilde das Integral von $ f(x) := x*ln(x) [mm] \$ [/mm] mit der unteren Grenze a und der oberen Grenze b |
Hallo
Also. Es ist ganz klar partielle Integration:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{u' * v dx} [/mm] = [u*v] - [mm] \integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \$
[/mm]
Angenommen es sei u = ln(x) [mm] \wedge [/mm] v=x, dann folgt:
$ [(x*ln(x)-x)*x] - [mm] \integral_{a}^{b}{ln(x) * 1 dx} \$
[/mm]
Woraus wieder folgt:
$ [(x*ln(x)-x)*x] - [(x*ln(x)-x)*1] [mm] \$
[/mm]
Das ist aber was ganz anderes als Derive und sonst wer raus hat. Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 17.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Bilde das Integral von [mm]f(x) := x*ln(x) \[/mm] mit der unteren
> Grenze a und der oberen Grenze b
> Hallo
>
> Also. Es ist ganz klar partielle Integration:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{u' * v dx} = [u*v] - \integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \[/mm]
>
> Angenommen es sei u = ln(x) [mm]\wedge[/mm] v=x, dann folgt:
>
> [mm][(x*ln(x)-x)*x] - \integral_{a}^{b}{ln(x) * 1 dx} \[/mm]
????
Hier hast du die Aufgabe verschlimmbessert.
Sinn der Übung ist es, an Stelle eines nicht oder schwer berechenbaren Integrals
[mm]\integral_{a}^{b}{u' * v dx}[/mm] das möglichst einfache Integral [mm]\integral_{a}^{b}{u * v ' dx} \[/mm]
zu berechnen. DEM ordnet sich die Frage unter: Was nehme ich als u' und was als v?
Statt [mm] u'v=x\ln(x) [/mm] integriere ich doch lieber [mm] u*v'=\bruch{x^2}{2}*\bruch{1}{x}=\bruch{x}{2} [/mm] .
Also: [mm]\integral x*ln(x)dx \[/mm] [mm] =\bruch{x^2}{2}*ln(x)-\integral\bruch{x}{2}dx=\bruch{x^2}{2}*ln(x)-\bruch{x^2}{4}
[/mm]
Jetzt noch die Grenzen einsetzen - fertig
Viele Grüße
Abakus
>
> Woraus wieder folgt:
>
> [mm][(xln(x)-x)*x] - [(x*ln(x)-x)*1] \[/mm]
>
> Das ist aber was ganz anderes als Derive und sonst wer raus
> hat. Was habe ich falsch gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 17.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ist es denn so grundlegend falsch?
Das die andere Variante ihre Vorzüge hat wurde mir klar nur was stimmt an meiner nicht? Es geht doch wenn ich ständig das x ableite bis es 0 wird und dadurch der Integral verschwindet.
Wo ist mein Fehler bei meiner Variante?
Bis auf das ich mich einmal am Anfang verschrieben habe und statt u(x) = ln(x) eigentlich u'(x) = ln(x) meinte.
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Da scheint wirklich was nicht richtig zu sein:
Es ist
[mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{(\ln(x)*x-x)*1 dx}
[/mm]
Verstehst du? Du hast praktisch die Partielle Integration folgendermaßen ausgeführt:
[mm] \integral{u'*v dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral{u'*v' dx}
[/mm]
Weil du im zweiten Integral dann nicht die Stammfunktion von ln(x) integrieren wolltest, sondern nur ln(x).
Nur so: Auch mit deiner Variante für u und v kann man das Integral lösen:
Man schreibt:
[mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{(\ln(x)*x-x)*1 dx}
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x - [mm] \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] + [mm] \integral{x dx}
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = (ln(x)*x-x)*x + [mm] \integral{x dx}
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = [mm] \bruch{(ln(x)*x-x)*x + \integral{x dx}}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\ln(x)*x dx} [/mm] = [mm] \bruch{(ln(x)*x-x)*x + \bruch{x^{2}}{2}}{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 17.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Das ist es! Das ist genau die Antwort die ich gesucht habe. Danke steppenhahn! Jetz sind meine Kopfschmerzen schon erträglicher geworden ;) Typischer dummer Flüchtigkeitsfehler von mir
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