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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mi 27.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Löse folgendes Integral mit partieller Integration:
[mm] \int_{}^{} artanh(x)\, [/mm] dx |
Hallo Zusammen,
als Erstes habe ich es umgeschrieben:
[mm] \int_{}^{} artanh(x)\, [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{2} \cdot{} [/mm] ln [mm] \left( \bruch{1+x}{1-x} \right)\, [/mm] dx
nun partiell integrieren:
v' = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
u = ln [mm] \left( \bruch{1+x}{1-x} \right)
[/mm]
v = [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
u' = [mm] \bruch{2}{1-x²}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}x \cdot{} [/mm] ln [mm] \left( \bruch{1+x}{1-x} \right) [/mm] - [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{2}x \cdot{} \bruch{2}{1-x²}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{2x}{2(1-x²)}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{x}{1-x²}\, [/mm] dx
wenn ich nun nochmals partiell integriere, ich habe beide Varianten getestet erhalte ich leider kein einfacheres Integral. Ich habe nun versucht es umzuschreiben:
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{x}{(1+x)(1-x)}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{x+1-1}{(1+x)(1-x)}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{1-x} -\bruch{1}{1-x²}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{1-x}\, [/mm] dx + [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{1-x²}\, [/mm] dx
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) - (-ln|1-x|) + artanh(x) + C
= x [mm] \cdot{} [/mm] artanh(x) + ln|1-x| + artanh(x) + C
Wenn ich es ableite kommt aber nicht das Integral heraus.
Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Löse folgendes Integral mit partieller Integration:
>
> [mm]\int_{}^{} artanh(x)\,[/mm] dx
> Hallo Zusammen,
>
> als Erstes habe ich es umgeschrieben:
>
> [mm]\int_{}^{} artanh(x)\,[/mm] dx = [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{2} \cdot{}[/mm] ln [mm]\left( \bruch{1+x}{1-x} \right)\,[/mm] dx
>
> nun partiell integrieren:
>
> v' = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> u = ln [mm]\left( \bruch{1+x}{1-x} \right)[/mm]
>
> v = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> u' = [mm]\bruch{2}{1-x²}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]\bruch{1}{2}x \cdot{}[/mm] ln [mm]\left( \bruch{1+x}{1-x} \right)[/mm] - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{2}x \cdot{} \bruch{2}{1-x²}\,[/mm] dx
>
> $= [mm] x\cdot{}artanh(x) [/mm] - [mm] \int_{}^{} \bruch{2x}{2(1-x²)}\, [/mm] dx$
Das stimmt, ergibt sich auch direkt ohne Umschreiben mit dem [mm] $\ln$, [/mm] wenn du das Ausgangsintegral umschreibst:
[mm] $\int{artanh(x) \ dx}=\int{1\cdot{}artanh(x) \ dx}$ [/mm] und direkt partiell integrierst
Bei deinem letzten Integral nun [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] rausziehen, dann hast du
[mm] $...=x\cdot{}artanh(x) [/mm] \ [mm] \underbrace{+}_{-(-)} [/mm] \ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{-2x}{1-x^2} \ dx}$
[/mm]
Nun für das hintere Integral substituieren mit [mm] $u:=u(x)=1-x^2$ [/mm] ...
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{1-x²}\,[/mm] dx
>
> wenn ich nun nochmals partiell integriere,
besser substituieren!
> ich habe beide
> Varianten getestet erhalte ich leider kein einfacheres
> Integral. Ich habe nun versucht es umzuschreiben:
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(1+x)(1-x)}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x+1-1}{(1+x)(1-x)}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x} -\bruch{1}{1-x²}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x}\,[/mm] dx +
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x²}\,[/mm] dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - (-ln|1-x|) + artanh(x) + C
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) + ln|1-x| + artanh(x) + C
>
> Wenn ich es ableite kommt aber nicht das Integral heraus.
>
> Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
>
> Gruß
> itse
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
die Lösung habe ich nun mithilfe Substitution rausbekommen
= x [mm] \cdot{} [/mm] arctanh(x) + [mm] \bruch{1}{2} \cdot{} [/mm] ln|1-x²| + C
Ich wüsste dennoch gerne, warum dies nicht mit der Umformung:
= x $ [mm] \cdot{} [/mm] $ artanh(x) - $ [mm] \int_{}^{} \bruch{x}{1-x²}\, [/mm] $ dx
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(1+x)(1-x)}\,[/mm] dx
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x+1-1}{(1+x)(1-x)}\,[/mm] dx
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x} -\bruch{1}{1-x²}\,[/mm] dx
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x}\,[/mm] dx + [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x²}\,[/mm] dx
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - (-ln|1-x|) + artanh(x) + C
= x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) + ln|1-x| + artanh(x) + C
geht?
Gruß
itse
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> die Lösung habe ich nun mithilfe Substitution rausbekommen
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] arctanh(x) + [mm]\bruch{1}{2} \cdot{}[/mm] ln|1-x²| + C
>
> Ich wüsste dennoch gerne, warum dies nicht mit der
> Umformung:
Das tut es doch 
Ich war bei der anderen Antwort nur zu faul, das nachzurechnen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{1-x²}\,[/mm] dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x}{(1+x)(1-x)}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{x+1-1}{(1+x)(1-x)}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x} -\bruch{1}{1-x²}\,[/mm]
> dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x}\,[/mm] dx +
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{1-x²}\,[/mm] dx
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) - (-ln|1-x|) + artanh(x) + C
>
> = x [mm]\cdot{}[/mm] artanh(x) + ln|1-x| + artanh(x) + C
>
> geht?
Die ganze chose hier gilt für $|x|<1$, also kannst du die Beträge um den [mm] $\ln$ [/mm] weglassen.
Wenn du am Ende das hintere $artanh(x)$ wieder als [mm] $\ln$ [/mm] schreibst und mit dem vorderen [mm] $\ln(1-x)$ [/mm] verrechnest, kommst du auf [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left[\ln(1+x)+\ln(1-x)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\ln(1-x^2)$ [/mm] ...
Passt also ...
>
> Gruß
> itse
LG
schachuzipus
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