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| Aufgabe | Berechnen Sie das uneigentliche Integral
[mm] F(x)\,=\,\int x^2\,\cdot\,\log|x|\,\mathrm{d}x
[/mm]
mit partieller Integration.
F hat die Gestalt ? [mm] \quad \quad [/mm] für geeignete Polynome p und [mm] q\,
[/mm]
[mm] (A)\,p(x)\,\cdot\,\log|x|\,+\,q(x)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,<\,2\,,
[/mm]
[mm] (B)\,p(x)\,\cdot\,\big(\log|x|\big)^2\,+\,q(x)\quad,\,\quad\qquad \operatorname{grad}p\,=\,3\,,
[/mm]
[mm] (C)\,p\big(\log|x|\big)\,+\,q(x)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,=\,2\,,
[/mm]
[mm] (D)\,p\big(\log|x|\big)\,\cdot\,q(x)\quad,\quad\qquad\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,\geq\,2\,,
[/mm]
[mm] (E)\,p(x)\,\cdot\,\big(\log|x|\big)^2\,+\,q(x)\quad,\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,\geq\,2\,,
[/mm]
[mm] (F)\,\,q(x)\,,
[/mm]
[mm] (G)\,p(x)\,\cdot\,\log|x|\,+\,q(x)\quad,\qquad\qquad\quad\qquad \operatorname{grad}p\,\geq\,2\,,
[/mm]
[mm] (H)\,a\,\log|x|\,+\,q(x)\quad,\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad a\in\mathbb{R}\text{ konstant}\,,
[/mm]
[mm] (I)\,p(x)\,\cdot\,\log|x|\,+\,q(x)\quad,\qquad\quad\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,\leq\,1\,. [/mm] |
Hallo.
Die oben beschriebene Aufgabe soll mittels partieller Integration gelöst werden.
Mein Gedankengang war folgender:
[mm] x^2=u' [/mm] ln(x)=v
[mm] \integral{x^2*ln(x)}=u*v-\integral{v'*u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{x^2*ln(x)}=\bruch{1}{3}x^3*ln(x)-\integral{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{3}x^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}x^3*ln(x)-\integral{\bruch{1}{3}x^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}x^3*ln(x)-x^3
[/mm]
Leitet man das wiederum ab kommt man auf [mm] x^2*ln(x) [/mm] also die Ausgangsfunktion f(x).
Ist das bisher so richtig?(das ist das 1.Mal das ich eine partielle Integration durchführe).
Ferner würde ich nun gerne wissen, wie ich die o.g Aufgabe beantworten soll.
F hat ja folgende Gestalt: p(x)*ln(x)+q(x) wobei p(x) und q(x) Polynome bestimmten Grades sind. Ferner gilt, dass [mm] q(x)=-x^3 [/mm] ist.
Damit fallen B, C , D , E , F , H weg.
Außerdem sind die Grade von p und q 3. Hiermit fallen I und A raus.
Es bleibt also nur noch G übrig und p [mm] \ge [/mm] 2 mit p(x)*ln(x)+q(x) stimmt mit dem erhaltenen Ergebnis überein.
Ist meine Antwort G korrekt?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen und danke im Voraus :)
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masseltof!
Die Stammfunktion des letzten Teilintegrales ist falsch. Dort entsteht [mm] $\bruch{1}{9}*x^3$ [/mm] .
Ansonsten hast Du es korrekt gerechnet. Und auch Teilantwort (G) sieht gut aus.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Loddar.
Danke vielmals für die Kontrolle :)
Liebe Grüße
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