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| Aufgabe | Berechnen Sie das uneigentliche Integral
[mm] F(x)\,=\,\int \sqrt{x}\,\cdot\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\,\mathrm{d}x
[/mm]
mit partieller Integration.
F hat die Gestalt ? [mm] \quad \quad [/mm] für ein geeignetes Polynom [mm] p\,.
[/mm]
[mm] (A)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,a\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=b+1\,,
[/mm]
[mm] (B)\,p(\sqrt{x})\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^a\quad,\,\quad\,\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,=\,1\,,\quad a\in\mathbb{R}\,,
[/mm]
[mm] (C)\,a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^a\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad b=\frac{a}{2}\,,
[/mm]
[mm] (D)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,a\big)\quad,\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=\frac{1}{2b}\,,
[/mm]
[mm] (E)\,2a\,\sqrt{x}\,\big(\log|x|\big)^b\,+\,p(x)\quad,\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,
[/mm]
[mm] (F)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=\frac{b}{2}\,,
[/mm]
[mm] (G)\,a\,x^a\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad a\in\mathbb{R}\,,
[/mm]
[mm] (H)\,a\,\log|x|\,+\,\frac{b}{\sqrt{x}}\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,
[/mm]
[mm] (I)\,a\,x^a\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^{2a}\quad,\qquad\quad\qquad\qquad\qquad a\in\mathbb{R}\,.
[/mm]
Welchen Wert hat a ?
(Geben Sie den Wert auf zwei Nachkommastellen gerundet an.) |
Hallo.
Ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und wäre froh wenn ihr mal drüberschauen könntet.
[mm] \integral{\wurze{x}*(ln(x)+1)}=\integral{\wurzel{x}*ln{x}+\wurzel{x}}=\integral{\wurzel{x}*ln{x}}+\integral{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] 1.\integral{\wurzel{x}*ln(x)}=\integral{x^\bruch{1}{2}*ln(x)}
[/mm]
Partielle Integration:
Wobei [mm] x^\bruch{1}{2}=u' [/mm] und ln(x)=v
[mm] \integral{u'*v}=u*v-\integral{u*v'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\integral{\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\integral{\bruch{2}{3}x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\bruch{4}{9}x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Hierzu noch das Integral von [mm] x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \integral{x^{\bruch{1}{2}}=\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}
Also gilt für \integral{\wurze{x}*(ln(x)+1)}=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)}-\bruch{4}{9}x^{\bruch{3}{2}}+\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)+\bruch{2}{9}x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Ist diese Rechnung so richtig, oder habe ich einen Fehler gemacht?
Jetzt gilt es noch die Frage zu lösen.
Klammer ich die obige Lösung aus, so erhlate ich:
[mm] x^{\bruch{3}{2}}(\bruch{2}{3}ln(x)+\bruch{2}{9})
[/mm]
Ausgeschlossen sind:
A -> (Durch Rechnung)
B -> Polynom nicht abhängig von [mm] \wurzel{x}
[/mm]
C -> Klammer hat keine Potenz
D -> Passt durch Rechnung. Denn [mm] \bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}(ln(x)+\bruch{1}{3}) [/mm] passt auf die Bedingungen
E,F,G,H,I passen von der Form nicht
Welchen Wert hat a ->
[mm] a=\bruch{1}{3}\approx0.33
[/mm]
Ich würde mich über eine Kontrolle sehr freuen und danke im Voraus.
Viele Grüße :)
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Hallo Masseltof,
> Berechnen Sie das uneigentliche Integral
>
> [mm]F(x)\,=\,\int \sqrt{x}\,\cdot\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\,\mathrm{d}x[/mm]
>
> mit partieller Integration.
>
> F hat die Gestalt ? [mm]\quad \quad[/mm] für ein geeignetes Polynom
> [mm]p\,.[/mm]
>
> [mm](A)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,a\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=b+1\,,[/mm]
>
> [mm](B)\,p(\sqrt{x})\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^a\quad,\,\quad\,\qquad\qquad\qquad \operatorname{grad}p\,=\,1\,,\quad a\in\mathbb{R}\,,[/mm]
>
> [mm](C)\,a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^a\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad b=\frac{a}{2}\,,[/mm]
>
> [mm](D)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,a\big)\quad,\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=\frac{1}{2b}\,,[/mm]
>
> [mm](E)\,2a\,\sqrt{x}\,\big(\log|x|\big)^b\,+\,p(x)\quad,\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,[/mm]
>
> [mm](F)\,2a\,x^b\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,\quad a=\frac{b}{2}\,,[/mm]
>
> [mm](G)\,a\,x^a\,\big(\log|x|\,+\,1\big)\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad a\in\mathbb{R}\,,[/mm]
>
> [mm](H)\,a\,\log|x|\,+\,\frac{b}{\sqrt{x}}\quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad a\,,\,b\in\mathbb{R}\,,[/mm]
>
> [mm](I)\,a\,x^a\,\big(\log|x|\,+\,1\big)^{2a}\quad,\qquad\quad\qquad\qquad\qquad a\in\mathbb{R}\,.[/mm]
>
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> Welchen Wert hat a ?
>
> (Geben Sie den Wert auf zwei Nachkommastellen gerundet
> an.)
> Hallo.
>
> Ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und wäre froh
> wenn ihr mal drüberschauen könntet.
>
> [mm]\integral{\wurze{x}*(ln(x)+1)}=\integral{\wurzel{x}*ln{x}+\wurzel{x}}=\integral{\wurzel{x}*ln{x}}+\integral{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]1.\integral{\wurzel{x}*ln(x)}=\integral{x^\bruch{1}{2}*ln(x)}[/mm]
Die Aufgabe geht von "log" aus nicht von "ln".
>
> Partielle Integration:
> Wobei [mm]x^\bruch{1}{2}=u'[/mm] und ln(x)=v
>
> [mm]\integral{u'*v}=u*v-\integral{u*v'}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\integral{\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\integral{\bruch{2}{3}x^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)-\bruch{4}{9}x^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Hierzu noch das Integral von [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]\integral{x^{\bruch{1}{2}}=\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}
Also gilt für \integral{\wurze{x}*(ln(x)+1)}=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)}-\bruch{4}{9}x^{\bruch{3}{2}}+\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}=\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}*ln(x)+\bruch{2}{9}x^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Ist diese Rechnung so richtig, oder habe ich einen Fehler
> gemacht?
Wenn der natürliche Logarithmus "ln"in der Aufgabe gemeint ist,
dann stimmt die Rechnung.
>
> Jetzt gilt es noch die Frage zu lösen.
>
> Klammer ich die obige Lösung aus, so erhlate ich:
> [mm]x^{\bruch{3}{2}}(\bruch{2}{3}ln(x)+\bruch{2}{9})[/mm]
>
> Ausgeschlossen sind:
> A -> (Durch Rechnung)
> B -> Polynom nicht abhängig von [mm]\wurzel{x}[/mm]
> C -> Klammer hat keine Potenz
> D -> Passt durch Rechnung. Denn
> [mm]\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}(ln(x)+\bruch{1}{3})[/mm] passt auf
> die Bedingungen
> E,F,G,H,I passen von der Form nicht
>
> Welchen Wert hat a ->
> [mm]a=\bruch{1}{3}\approx0.33[/mm]
>
>
> Ich würde mich über eine Kontrolle sehr freuen und danke
> im Voraus.
>
> Viele Grüße :)
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 30.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Mathepower.
Es wird von ln(x) ausgegangen. Ich weiß nicht so ganz warum unserer Aufgabenersteller immer log(x) schreibt.
Auf jeden Fall danke ich dir für die Kontrolle :)
Liebe Grüße
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