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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Aufgabe:
[mm] \integral \bruch{x^2}{x^2+a^2}\, [/mm] dx |
Hallo alle zusammen,
nachdem mir bei meiner letzten Frage schon so superschnell und supergut geholfen wurde, hier die nächste: Wie löse ich oben angegebenes Integral?
Ich habs mit partieller Integration versucht:
[mm] u'=\bruch{1}{x^2+a^2}, [/mm] dann ist [mm] u=\bruch{1}{a}*\arctan(\bruch{x}{a})
[/mm]
[mm] v=x^2, [/mm] dann ist v'=2x.
Dann scheitere ich jedoch an folgendem Punkt (in der Hoffnung, dass bis dahin alles richtig ist):
[mm] \bruch{x^2}{a}*\arctan(\bruch{x}{a})-\bruch{2}{a}*\integral \arctan(\bruch{x}{a})*x\, [/mm] dx
Ich weiß nicht, wie ich das folgende Integral nun sinnvoll lösen kann.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
MfG Manu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
so gehts leichter: 
[mm]\frac{x^2}{x^2+a^2}=1-\frac{a^2}{x^2+a^2}[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank, ich muss mein Blick fürs "Umschreiben" einfach noch besser schulen!
Die Lösung lautet somit (hoffentlich auch richtig): [mm] x-a*\arctan(\bruch{x}{a})
[/mm]
Gruß Manu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
vllt. sollte man auch noch speziell an $a=0$ denken.
Klar ist der Grenzwert für [mm] a\to{0} [/mm] von $ [mm] a\cdot{}\arctan(\bruch{x}{a})=0 [/mm] $ aber zunächst ist das eben nicht klar.
Von daher vllt. noch einmal etwas genauer schreiben?
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Richie!
Aber für den Sonderfall $a \ = \ 0$ gilt:
[mm] $\integral{\bruch{x^2}{x^2+a^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{x^2}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1 \ dx} [/mm] \ = \ x+c$
Das stünde ja etwas in Widerspruch zu Deinem Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 11.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Richie!
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> Aber für den Sonderfall [mm]a \ = \ 0[/mm] gilt:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{x^2+a^2} \ dx} \ = \ \integral{\bruch{x^2}{x^2} \ dx} \ = \ \integral{1 \ dx} \ = \ x+c[/mm]
>
> Das stünde ja etwas in Widerspruch zu Deinem Ergebnis.
Hallo Roadrunner,
da sehe ich keinen Widerspruch, denn für a [mm] \ne [/mm] 0 haben wir die Stammfunktion
$ [mm] x-a\cdot{}\arctan(\bruch{x}{a}) [/mm] $
Für a [mm] \to [/mm] 0 geht das gegen x.
Gruß FRED
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Fr 11.10.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Fred!
Ups, da hatte ich den ersten Summanden $x_$ völlig ignoriert und übersehen, dass dieser Term nicht das Gesamtergebnis ist.
Pfui, Roadrunner!
Gruß vom
Roadrunner
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).
