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| Aufgabe | | Diskutieren die Kurve [mm] e^{-\bruch{x^{2}}{8}} [/mm] *4x und berechne die Fläche im Intervall [-4;4]. |
Hola
ok, das diskutieren hab ich geschafft mit Produktregel...
N(0/0) H(2/4,9) T(-2/-4,9), [mm] W_{1}=N [/mm] (0/0), [mm] W_{2} (2\wurzel{3/3,1)}, W_{3} (-2\wurzel{3/-3,1)}
[/mm]
fallend zw. [mm] -\infty [/mm] u T, dann steigend bis H, dann wieder fallend
pos. gekrümmt zwischen [mm] -\infty [/mm] u [mm] W_{3}, [/mm] neg. gekrümmt, zwischen [mm] W_{3} [/mm] u T, dann post bis [mm] W_{1}=N [/mm] (0/0), dann neg bis H, von H bis [mm] W_{2} [/mm] pos, dann bis [mm] \infty [/mm] wieder neg.
aber wie funkt das mit dem Integral? ist die Stammfunktion von [mm] e^{-\bruch{x^{2}}{8}} [/mm] wirklich [mm] e^{-\bruch{x^{2}}{8}}*(\bruch{2x}{8}?
[/mm]
dann mach ich nämlich mit partieller Integration weiter nach dem Schema:
Stammfunktion v e * 4x (einfach abschreiben) - [mm] \integrale*4 [/mm] (ableitung v 4x) ....also ich mach das schon mit den richtigen Potenzen, wollt sie nur nicht abtippen, das ist so kompliziert
wenn ich das so mache, dann hab ich als ergebnis eine Fläche von [mm] \sim [/mm] 0,54
Leider haben wir dazu keine Lösung bekommen u die Leutz aus der Klasse kommen auch nicht drauf.
was meint ihr? is das ansatzweise richtig?
Bitte um Hilfe
Danke
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Mi 13.12.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Diskutieren die Kurve [mm]e^{-\bruch{x^{2}}{8}}[/mm] *4x und
> berechne die Fläche im Intervall [-4;4].
> Hola
>
> ok, das diskutieren hab ich geschafft mit Produktregel...
> N(0/0) H(2/4,9) T(-2/-4,9), [mm]W_{1}=N[/mm] (0/0), [mm]W_{2} (2\wurzel{3/3,1)}, W_{3} (-2\wurzel{3/-3,1)}[/mm]
N, H und T stimmen (zumindest in den x-Werten), die Wendestellen habe ich jetzt nicht genau nachgerechnet, schauen aber plausibel aus.
>
> fallend zw. [mm]-\infty[/mm] u T, dann steigend bis H, dann wieder
> fallend
> pos. gekrümmt zwischen [mm]-\infty[/mm] u [mm]W_{3},[/mm] neg. gekrümmt,
> zwischen [mm]W_{3}[/mm] u T, dann post bis [mm]W_{1}=N[/mm] (0/0), dann neg
> bis H, von H bis [mm]W_{2}[/mm] pos, dann bis [mm]\infty[/mm] wieder neg.
Das müsste so auch richtig sein.
>
> aber wie funkt das mit dem Integral? ist die Stammfunktion
> von [mm]e^{-\bruch{x^{2}}{8}}[/mm] wirklich
> [mm]e^{-\bruch{x^{2}}{8}}*(\bruch{2x}{8}?[/mm]
Das kannst Du ja einfach nachrechnen, indem Du [mm]e^{-\bruch{x^{2}}{8}}*(\bruch{2x}{8}?[/mm] ableitest. Dann wirst Du aber feststellen, dass diese Stammfunktion so leider nicht stimmt.
Mein Alternativvorschlag: versuche es doch mal mit der Substitution [mm]u:=-\bruch{x^2}{8}[/mm]!
Gruß
piet
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Hola
vielen Dank für deine Hilfe/Tipps
btw: bei den W-stellen geht die Wurzel nicht über die y-stelle, hab ich mich bei formelerstellen vertan :-(
jössas! partiell-integrieren und substitution? das kann sie uns doch nicht antun....
ich hätt einen anderen stammfunktionsvorschlag für [mm] e^{\bruch{-x^{2}}{8}}...nämlich: [/mm]
[mm] e^{\bruch{-x^{2}}{8}} [/mm] / [mm] \bruch{-2x}{8} [/mm] = [mm] -4e^{\bruch{-x^{2}}{8}}/x [/mm]
könnt das stimmen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
Auch dieses Ergebnis stimmt nicht. Denn wenn Du Deine vermeintliche Stammfunktion mal ableitest (mit  Quotientenregel!), wirst Du etwas völlig anderes als die Ausgangsfunktion erhalten.
Der einzige Weg zur Stammfunktion führt über die o.g. Substitution:
$u \ := \ [mm] -\bruch{x^2}{8}$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{x}{4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mi 13.12.2006 | | Autor: | wonderwall |
danke!
oje, dann hilft alles nix, werd ich wohl substituieren müssen, das könnt nun etwas längern dauern :-(
lg ww
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ah!
mir ist noch was eingefallen, wenn ich nun substituiere, was passiert mit den 4x? das ignorier ich die einfach beim substituieren?
bin total verwirrt gerade, sorry :-(
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
Nein, das darfst Du selbstverständlich nicht so einfach ignorieren. Aber in dem Moment, wo Du auch das [mm] $d\red{x}$ [/mm] in Deinem Integral durch das [mm] $d\red{u}$ [/mm] ersetzt (siehe auch meine Antwort oben), kürzt sich das $x_$ heraus und es verbleibt ein ziemlich einfaches Integral.
Gruß
Loddar
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hola
ok, also [mm] -\bruch{x^{2}}{8}=u [/mm] u'= 2x/8=x/4
[mm] \bruch{du}{dx}= -\bruch{x}{4}
[/mm]
und jetzt check ich einfach nix mehr, tut mir leid, aber ich steh total auf der leitung, könnts ihr mir vielleicht das korrekte integral anschreiben, als anfang damit ich weiß, wie es weitergeht :-?
bitte
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mi 13.12.2006 | | Autor: | piet.t |
O.K., hier mal nach Physikerart:
[mm]\bruch{du}{dx}= -\bruch{x}{4} \Rightarrow dx = -\bruch{4}{x}du[/mm]
dann ersetzt Du in Deinem Integral dx nach obigem Ausdruck:
[mm]\int e^{-\bruch{x^2}{8}}*4x \ dx = \int e^{u}*4x* \left(-\bruch{4}{x}\right)du[/mm]
Ab da sollte es dann doch klar sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 13.12.2006 | | Autor: | wonderwall |
hola
wie kann man nur so blöd sein *patsch*
ja, klar danke:
ich kürz dann t [mm] weg--->\integral_{a}^{b}{-4*e^{t}}--> [/mm] Stammfunktion ist: [mm] -4*e^{t} [/mm] = [mm] -4*e^{\bruch{-x^{2}}{8}}
[/mm]
gell!
und statt den x-grenzen -4 u 4 brauch ich nun durch einsetzen in x= [mm] \bruch{-4}{t}, [/mm] das wäre dann 1 u -1 oder muss ich in [mm] t=\bruch{-x^{2}}{8} [/mm] einsetzen, dann hätte ich, aber nur 2?
lg ww
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hola
hab ich nun alles durchschaut, oder bei den grenzen wieder einen fehler gemacht? :-? bin schon total verunsichert
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
Du hast bei der Stammfunktion die Fakoren falsch zusammengefasst (gekürzt, anstatt zu multiplizieren):
[mm] $\integral{...} [/mm] \ = \ [mm] -4*4*e^{-\bruch{x^2}{8}} [/mm] \ = \ [mm] -\red{16}*e^{-\bruch{x^2}{8}}$
[/mm]
Da hier ja wieder die $x_$-Werte stehen, musst du auch wieder die $x_$-Grenzen einsetzen.
Wenn Du n un die Fläche berechnen sollst, musst Du das Integral in zwei Teilintegrale zerlegen (und jeweils den Betrag nehmen); denn Du integrierst hier ja über eine Nullstelle bei [mm] $x_N [/mm] \ = \ 0$ hinweg.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mi 13.12.2006 | | Autor: | wonderwall |
:-D
danke!
wenn ich mal im kürzen bin dann hält mich nichts auf, auch keine multiplikation *lol*
ja klar, stimmt, ich setz ja dann eh wieder das x-dings ein u hab somit x-grenzen
und das mit der nullstelle seh ich ja, weil ich ja vorher die funktion diskutiert habe u die y-werte entgegengesetzt sind, gell ....also kann ich das erkennen, ohne dass ich die funktion zeichnen müsste (unsere prof meint, wir sollen nicht zeichnen)
ich danke euch ganz herzlich!
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 13.12.2006 | | Autor: | piet.t |
Noch eine kurze Anmerkung mienerseits:
eine Stammfunktion für [mm][mm] e^{-\bruch{x^2}{8}} [/mm] alleine (d.h. ohne den Faktor 4x) wirst Du auch nicht finden: [mm] e^{-x^2} [/mm] ist ja im wesentlich eine Gauss-Glocke und deren Stammfunktion (die kumulative Normalverteilung, bei den Physikern gerne Error-Function genannt) ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar.
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Mal ne andere Beweisidee ohne zu rechnen:
offensichtlich ist die Funktion ungerade, d.h. es gilt f(x) = -f(-x)
=> [mm] \integral_{-4}^{4}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-4}^{0}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{4}{f(x) dx} [/mm] = [mm] -(\integral_{0}^{4}{f(x) dx}) [/mm] + [mm] \integral_{0}^{4}{f(x) dx} [/mm] = 0 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Halllo Gono!
Da hier aber nach der Fläche und nicht nur nach dem Wert des Integrals gefragt ist, ist dieser (richtige) Ansatz hier leider falsch.
Es muss schon mit zwei Teilintegralen gearbeitet werden. Klar, kann man sich dann auch die Punktsymmetrie zunutze machen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Loddar,
es kommt allerdings ganz darauf an, wie man "Fläche" definiert. Es ist z.B. auch nicht gerade selten, daß auch negative Flächen zugelassen sind.
Wenn man mit Fläche nur die betragsmäßigen Teilflächen meint, so ist meine Antwort sicherlich falsch. Bei negativen und positiven Flächen bekommt man allerdings wieder 0 heraus.
Mfg,
Gono.
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hola
interessant u ich verstehs sogar *gg*
also die fläche beträgt [mm] \sim [/mm] 27,67 bei mir :-D
hab das intervall v 0 bis 4 gerechnet u dann einfach *2, weil die flächen ja gleich sind, das darf ich doch, gell....
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 13.12.2006 | | Autor: | wonderwall |
Danke
*yeah* *juhuuuuu*
mal schauen, ob ich das morgen noch meinen klassenkollegInnen erklären kann...am freitag is ja SA 
lg ww
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