Partielle, bzw. Totale Diff < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 11.06.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
In welchen Punkten ist f partiell bzw. total differenzierbar? Berechnen Sie jeweils die entsprechenden Ableitungen. |
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie man vorgehen muss.
Um die Vorgehenweise zu erfahren, habe ich mir eine Mathematische Formelsammlung von Papula ausgeliehen.
Ich muss es lernen aus bem Buch zu verstehen.
Dort stehen unter "Partielle Ableitungen" folgende Formeln:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{f(x + \Delta x;y)-f(x;y)}{\Delta x}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{f(x;y + \Delta y)-f(x;y)}{\Delta y}
[/mm]
D.h wenn die Grenzwerte beider partieller Ableitungen erster Ordnung in den Punkt (0,0) den selben Funktionswert haben, ist f in dem Punkt (0,0) partiell Differenzierbar.
Stimmt das?
Umgesetzt sieht meine Lösung so aus:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{f(x + \Delta x;y)-f(x;y)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{(0 + \Delta x)^{2}(0)}{(0 + \Delta x)^{2}+(0)}}{\Delta x} [/mm] = 0
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{f(x;y +\Delta y)-f(x;y)}{\Delta y} [/mm] = [mm] \limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{\bruch{(0)(0+ \Delta y)^{4}}{(0)+(0+ \Delta y)^{4}}}{\Delta y} [/mm] = 0
Somit stimmt der Grenzwert beider partieller Ableitungen überein und f wäre demnach partiell differenzierbar in (0,0).
Ist es soweit richtig?
Jetzt noch eine Verständnis-Frage: Bei der Grenzwert-Betrachtung steht im Nenner der Formel immer ein [mm] \Delta [/mm] * Variable.
Wenn der Grenzwert gegen Null geht, so geht der Nenner gegen Null und somit auch der gesammte Ausdruck.
Demnach ist der Grenzwert beliebiger Funktionen Null, wenn der Grenzwert gegen Null geht.
Das kann aber nicht sein, den es muss auch Funktionen geben, die im Ursprung nicht partiell differenzierbar sind.
Habe ich was falsch interpretiert?
Klärt mich auf
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Hallo zoj,
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> In welchen Punkten ist f partiell bzw. total
> differenzierbar? Berechnen Sie jeweils die entsprechenden
> Ableitungen.
> Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß,
> wie man vorgehen muss.
> Um die Vorgehenweise zu erfahren, habe ich mir eine
> Mathematische Formelsammlung von Papula ausgeliehen.
> Ich muss es lernen aus bem Buch zu verstehen.
>
> Dort stehen unter "Partielle Ableitungen" folgende
> Formeln:
>
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{f(x + \Delta x;y)-f(x;y)}{\Delta x}[/mm]
>
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = [mm]\limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{f(x;y + \Delta y)-f(x;y)}{\Delta y}[/mm]
>
> D.h wenn die Grenzwerte beider partieller Ableitungen
> erster Ordnung in den Punkt (0,0) den selben Funktionswert
> haben, ist f in dem Punkt (0,0) partiell Differenzierbar.
> Stimmt das?
Mit den Formeln berechnest Du doch erst
die partiellen Ableitungen für [mm]\left(x,y\right) \not= \left(0,0\right)[/mm].
Dann erst kannst Du den Grenzwert für [mm]\left(x,y\right) \to \left(0,0\right)[/mm] berechnen.
>
> Umgesetzt sieht meine Lösung so aus:
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{f(x + \Delta x;y)-f(x;y)}{\Delta x}[/mm]
> = [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{(0 + \Delta x)^{2}(0)}{(0 + \Delta x)^{2}+(0)}}{\Delta x}[/mm]
> = 0
>
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = [mm]\limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{f(x;y +\Delta y)-f(x;y)}{\Delta y}[/mm]
> = [mm]\limes_{\Delta y\rightarrow 0} \bruch{\bruch{(0)(0+ \Delta y)^{4}}{(0)+(0+ \Delta y)^{4}}}{\Delta y}[/mm]
> = 0
>
> Somit stimmt der Grenzwert beider partieller Ableitungen
> überein und f wäre demnach partiell differenzierbar in
> (0,0).
>
> Ist es soweit richtig?
>
> Jetzt noch eine Verständnis-Frage: Bei der
> Grenzwert-Betrachtung steht im Nenner der Formel immer ein
> [mm]\Delta[/mm] * Variable.
> Wenn der Grenzwert gegen Null geht, so geht der Nenner
> gegen Null und somit auch der gesammte Ausdruck.
> Demnach ist der Grenzwert beliebiger Funktionen Null, wenn
> der Grenzwert gegen Null geht.
> Das kann aber nicht sein, den es muss auch Funktionen
> geben, die im Ursprung nicht partiell differenzierbar
> sind.
>
> Habe ich was falsch interpretiert?
> Klärt mich auf
>
Gruss
MathePower
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