Partielle/totale Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Die Fkt f: [mm] IR^2 [/mm] --> IR sei definiert durch
f(x,y)= [mm] \bruch{|x|y}{\wurzel{x^2+y^2}}, [/mm] falls (x,y) ungleich 0 und 0 sonst.
a) Untersuche f auf Stetigkeit und partielle Diffbarkeit und berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung in allen Punkten in denen sie existieren.
b) Untersuche f auf totale Diffbarkeit und berechne f' in allen Punkten, in denen f total diffbar ist. |
Hallo,
f ist stetig auf [mm] IR^2 \{(0,0)} [/mm] klar, f ist auch im Nullpunkt stetig, da | [mm] \bruch{|x|y}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] | [mm] \le [/mm] |y| -->0 = f(0,0) für (x,y)-->(0,0).
f ist im Nullpunkt partiell diffbar, da:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}
[/mm]
f ist im Nullpunkt nicht total diffbar, da ((1/n,1/n)) --> (0,0), aber [mm] \bruch{f(1/n,1/n)}{||(1/n,1/n)||} [/mm] --> 1/4 für (x,y) --> 0
Jetzt meine Frage: Gibt es noch eine Stelle, an der man die partielle Diffbarkeit gesondert untersuchen muss? Mich macht der Betrag um das x stutzig. Denn sonst müsste man ja beim Bilden der partiellen Ableitungen eine Fallunterscheidung machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:05 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Fkt f: [mm]IR^2[/mm] --> IR sei definiert durch
> f(x,y)= [mm]\bruch{|x|y}{\wurzel{x^2+y^2}},[/mm] falls (x,y)
> ungleich 0 und 0 sonst.
> a) Untersuche f auf Stetigkeit und partielle Diffbarkeit
> und berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung in
> allen Punkten in denen sie existieren.
> b) Untersuche f auf totale Diffbarkeit und berechne f' in
> allen Punkten, in denen f total diffbar ist.
>
> ...
>
> Jetzt meine Frage: Gibt es noch eine Stelle, an der man die
> partielle Diffbarkeit gesondert untersuchen muss? Mich
> macht der Betrag um das x stutzig. Denn sonst müsste man
> ja beim Bilden der partiellen Ableitungen eine
> Fallunterscheidung machen.
die brauchst Du nicht, weil ja
[mm] $\lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=0$
[/mm]
war. Hättest Du jetzt etwa
[mm] $\lim_{0 < t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=1$
[/mm]
gehabt, dann wäre es sinnvoll, nochmal zu gucken, ob wirklich
[mm] $\lim_{0 > t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=1$
[/mm]
auch gilt, um
[mm] $\lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=1$
[/mm]
hinschreiben zu dürfen. Aber was soll der Betrag bei obiger Funktion bei
dieser Betrachtung nun ändern? Zumal
[mm] $f(x,0)=0\,$
[/mm]
durchweg gilt - egal, welches Vorzeichen [mm] $x\,$ [/mm] hat. (Ebenso
[mm] $f(0,y)=0\,$
[/mm]
gilt durchweg, deswegen folgt Dein Ergebnis für die andere partielle
Ableitung ja sofort).
Vielleicht spielt der Betrag eine Rolle bei der Frage nach der totalen
Diff'barkeit - ich weiß es nicht, ich hab's nicht gerechnet ^^
Und da ich Deine Überlegungen nur überflogen habe (das Argument mit
der Nullpunktstetigkeit sieht aber auch gut aus), gebe ich Dir auch nur
eine Mitteilung als Antwort. Damit das noch jemand mal genauer anguckt!^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke schonmal. Und wie bilde ich die partielle Ableitung nach x? Ich kann ja nicht einfach über den Betrag weg rechnen.
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Hallo,
> Danke schonmal. Und wie bilde ich die partielle Ableitung
> nach x? Ich kann ja nicht einfach über den Betrag weg
> rechnen.
Genauso, wie die Betragsfunktion eigentlich nichts anderes ist, als eine geschickte Schreibweise für eine Fallunterscheidung, genau so musst du auch hier eine Fallunterscheidung vornehmen. Es gibt dafür aber die ebenfalls sehr geschickte Schreibweise per Signum-Funktion
[mm] |x|'=sgn(x)=\begin{cases} -1; & x<0 \\ 0; & x=0 \\ 1; & x>0 \end{cases}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Fkt f: [mm]IR^2[/mm] --> IR sei definiert durch
> f(x,y)= [mm]\bruch{|x|y}{\wurzel{x^2+y^2}},[/mm] falls (x,y)
> ungleich 0 und 0 sonst.
> a) Untersuche f auf Stetigkeit und partielle Diffbarkeit
> und berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung in
> allen Punkten in denen sie existieren.
> b) Untersuche f auf totale Diffbarkeit und berechne f' in
> allen Punkten, in denen f total diffbar ist.
> Hallo,
>
> f ist stetig auf [mm]IR^2 \{(0,0)}[/mm] klar, f ist auch im
> Nullpunkt stetig, da | [mm]\bruch{|x|y}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] |
> [mm]\le[/mm] |y| -->0 = f(0,0) für (x,y)-->(0,0).
>
> f ist im Nullpunkt partiell diffbar, da:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> f ist im Nullpunkt nicht total diffbar, da ((1/n,1/n)) -->
> (0,0), aber [mm]\bruch{f(1/n,1/n)}{||(1/n,1/n)||}[/mm] --> 1/4 für
> (x,y) --> 0
>
Bis hier ist alles prima !
> Jetzt meine Frage: Gibt es noch eine Stelle, an der man die
> partielle Diffbarkeit gesondert untersuchen muss? Mich
> macht der Betrag um das x stutzig. Denn sonst müsste man
> ja beim Bilden der partiellen Ableitungen eine
> Fallunterscheidung machen.
Ja, man mag es bedauern, aber ändern kan man es nicht.
Wir untersuchen die Funktion f mal auf partielle Differenzierbarkeit in einem Punkt [mm] (0,y_0), [/mm] wobei [mm] y_0 \ne [/mm] 0 (den Fall [mm] y_0=0 [/mm] hast Du ja oben schon behandelt).
Dazu definieren wir für $ h [mm] \ne [/mm] 0$:
$g(h):= [mm] \bruch{f(h,y_0)-f(0,y_0)}{h}$.
[/mm]
Zeige nun:
(*) $0 [mm] \ne \limes_{h \rightarrow 0+0}g(h) [/mm] = - [mm] \limes_{h \rightarrow 0-0}g(h)$
[/mm]
Aus (*) folgt also, dass [mm] $\limes_{h \rightarrow 0}g(h)$ [/mm] nicht existiert !.
Damit ist f im Punkt [mm] (0,y_0) [/mm] nicht nach der ersten Var. $x$ partiell differenzierbar.
FRED
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