Partikuläre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hallo erstmal an die Interessierten.
Ich lerne gerade mit Differentialgleichungen umzugehen und verstehe einen Abschnitt im Buch nicht.
Ich habe eine Gleichung mit einer e-Funktion in der Störfunktion und habe jetzt in der Tabelle nachgesehen, wie der Lösungsansatz ist: [mm] y_{p}=A*e^{4x}
[/mm]
Dort wird auch ein Beispiel beschrieben, das ich nicht nachvollziehen kann:
[mm] g(x)=3*e^{4x} [/mm] ; [mm] y_{p}=\bruch{1}{6}*e^{4x}
[/mm]
Wie kommt man da auf die [mm] \bruch{1}{6}?
[/mm]
(Meine Gleichung ist: [mm] g(x)=2*e^{-9x})
[/mm]
Vielen Dank fürs Interesse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 04.03.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo erstmal an die Interessierten.
>
> Ich lerne gerade mit Differentialgleichungen umzugehen und
> verstehe einen Abschnitt im Buch nicht.
nur so aus Interesse: Um welches Buch gehts denn?
>
> Ich habe eine Gleichung mit einer e-Funktion in der
> Störfunktion und habe jetzt in der Tabelle nachgesehen,
> wie der Lösungsansatz ist: [mm]y_{p}=A*e^{4x}[/mm]
> Dort wird auch ein Beispiel beschrieben, das ich nicht
> nachvollziehen kann:
> [mm]g(x)=3*e^{4x}[/mm] ; [mm]y_{p}=\bruch{1}{6}*e^{4x}[/mm]
Um welche DGL handelt es sich denn?
>
> Wie kommt man da auf die [mm]\bruch{1}{6}?[/mm]
>
> (Meine Gleichung ist: [mm]g(x)=2*e^{-9x})[/mm]
häh? oben sah $g(x)$ noch anders aus.
Sag uns doch am besten mal welche DGl Du lösen möchtest und zeig uns wie Du auf die Lösung gekommen bist.
>
> Vielen Dank fürs Interesse.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hallo und danke für die Antwort.
Also das Buch ist von Papula Mathematik für Ingenieure, gefällt mir sonst sehr gut.
Die ganze DGL hätte ich natürlich angeben müssen, für das Beispiel lautet sie:
[mm] y''+y'-2y=3*e^{4x}
[/mm]
Die Lösung der homogenen Gleichung also y''+y'-2y=0 lautet:
[mm] C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}
[/mm]
und die Parikuläre verstehe ich wie gesagt nicht.
Das Ergebnis wäre dann: [mm] y=y_{0}+y_{p}=C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}+\bruch{1}{6}*e^{4x}
[/mm]
Das andere in Klammern ist die Aufgabe an der ich neben dem Beispiel gerechnet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Fr 04.03.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Also das Buch ist von Papula Mathematik für Ingenieure,
> gefällt mir sonst sehr gut.
>
> Die ganze DGL hätte ich natürlich angeben müssen, für
> das Beispiel lautet sie:
> [mm]y''+y'-2y=3*e^{4x}[/mm]
> Die Lösung der homogenen Gleichung also y''+y'-2y=0
> lautet:
> [mm]C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}[/mm]
richtig.
>
> und die Parikuläre verstehe ich wie gesagt nicht.
Was verstehst Du denn an ihr nicht? Glaubst Du nicht, dass sie die DGL löst, oder weißt Du nicht wie man auf die Lösung kommt?
Wie würdest Du denn die partikluäre Lösung bestimmen?
>
> Das Ergebnis wäre dann:
> [mm]y=y_{0}+y_{p}=C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}+\bruch{1}{6}*e^{4x}[/mm]
>
>
> Das andere in Klammern ist die Aufgabe an der ich neben dem
> Beispiel gerechnet habe.
Ich kann keine Klammern sehen.
>
>
noch ein Tipp: Wenn Du eine Antwort erwartest, solltest Du eine Frage stellen, keine Mitteilung 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:31 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hallo nochmal,
also wie in der ersten Frage geschrieben, verstehe ich nicht wie man auf die [mm] \bruch{1}{6} [/mm] in der Partikulären Lösung kommt.
> [mm]y''+y'-2y=3*e^{4x}[/mm]
> [mm]y=y_{0}+y_{p}=C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}+\bruch{1}{6}*e^{4x}[/mm]
Danke für die Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 04.03.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo nochmal,
>
> also wie in der ersten Frage geschrieben, verstehe ich
> nicht wie man auf die [mm]\bruch{1}{6}[/mm] in der Partikulären
> Lösung kommt.
>
Das habe ich schon verstanden. Aber Du hast Deinen Rechenweg immer noch nicht gepostet oder genauer präzisiert wo das Problem liegt bzw. auf meine Fragen reagiert.
Auf welche Lösung kommst Du denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hallo nochmal,
genau da liegt ja mein Problem, dass ich es gerade erst lerne und bei der Aufgabe kein Rechenweg angegeben ist.
...ah jetzt hab ich es raus. Man muss also den nicht homogenen Teil (in diesem Fall) zweimal ableiten in den homogenen einsetzen und statt der 3 das A aus der Tabelle verwenden, dann kann man durch die e-Funktion teilen und A ausrechnen.
Voilà: [mm] A=\bruch{1}{6}
[/mm]
geholfen hätte mir zu wissen, dass es genauso gemacht wird wie mit Störfunktionen des Typs [mm] x^{2}+ax+b [/mm] davon bin ich nämlich zuerst nicht ausgegangen.
Danke für die Geduld.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Fr 04.03.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo nochmal,
>
> genau da liegt ja mein Problem, dass ich es gerade erst
> lerne und bei der Aufgabe kein Rechenweg angegeben ist.
aber die Theorie wie man das allgemein löst ist doch bestimmt angegeben.
>
> ...ah jetzt hab ich es raus. Man muss also den nicht
> homogenen Teil (in diesem Fall) zweimal ableiten in den
> homogenen einsetzen und statt der 3 das A aus der Tabelle
> verwenden, dann kann man durch die e-Funktion teilen und A
> ausrechnen.
> Voilà: [mm]A=\bruch{1}{6}[/mm]
Ich weiß nicht von welcher Tabelle Du sprichst. Normalerweise nimmt man eine Ansatzfunktion, hier bietet sich die e-Fkt an, da die rechte Seite ja ebenfalls eine ist.
[mm] $y_{\text{part.}}=ae^{bx}$
[/mm]
Wenn Du diese in die DGL einsetzt kommst Du auf diese Gleichung:
[mm] $ae^{bx}\cdot(b^2+b-2)=3e^{4x}$
[/mm]
Ein 'Koeffizientenvergleich' liefert b=4 damit kann man dann a bestimmen und kommt auf das gwünschte Ergebnis.
>
> geholfen hätte mir zu wissen, dass es genauso gemacht wird
> wie mit Störfunktionen des Typs [mm]x^{2}+ax+b[/mm] davon bin ich
> nämlich zuerst nicht ausgegangen.
Ich dachte, Du hast eine Rechnung gemacht, aber nicht das richtige Ergebnis rausbekommen hast und wollte eben diese Rechnung sehen, dass wir nach dem Fehler suchen können. Vielleicht haben wir uns ein wenig missverstanden. Aber Hauptsache, Du hast es jetzt gelöst.
>
> Danke für die Geduld.
Gerne und Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 05.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hallo, da bin ich schon wieder.
Das Verfahren müsste doch mit der Fkt. [mm] g(x)=2\cdot{}e^{-9x} [/mm] das gleiche sein.
Allerdings komme ich da auf 0*a=2 was ja offensichtilch falsch sein muss.
Meine Rechnung für den partikuläre Teil ist:
Ansatz: [mm] a*e^{cx}
[/mm]
[mm] y=a*e^{-9x}
[/mm]
[mm] y'=-9*a*e^{-9x}
[/mm]
[mm] y''=81*a*e^{-9x}
[/mm]
[mm] a*e^{-9x}*(81+8(-9)-9)=2*e^{-9x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a(0)=2
Ich habe schon mehrfach geguckt, ob ich die Aufgabe falsch abgeschrieben habe. Finde aber den Fehler nicht.
Danke fürs Interesse
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Hallo fred937,
> Hallo, da bin ich schon wieder.
>
> Das Verfahren müsste doch mit der Fkt.
> [mm]g(x)=2\cdot{}e^{-9x}[/mm] das gleiche sein.
>
> Allerdings komme ich da auf 0*a=2 was ja offensichtilch
> falsch sein muss.
>
> Meine Rechnung für den partikuläre Teil ist:
>
> Ansatz: [mm]a*e^{cx}[/mm]
>
> [mm]y=a*e^{-9x}[/mm]
> [mm]y'=-9*a*e^{-9x}[/mm]
> [mm]y''=81*a*e^{-9x}[/mm]
>
> [mm]a*e^{-9x}*(81+8(-9)-9)=2*e^{-9x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a(0)=2
Sofern es sich um die DGL
[mm]y''+y'-2*y=2*e^{-9*x}[/mm]
handelt, muß die Gleichung zur Ermittlung der partikulären Lösung
[mm]a*e^{-9*x}*\left(81+\red{\left(-9\right)-2}\right)=2*e^{-9*x}[/mm]
lauten.
>
> Ich habe schon mehrfach geguckt, ob ich die Aufgabe falsch
> abgeschrieben habe. Finde aber den Fehler nicht.
>
> Danke fürs Interesse
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 So 06.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke für die Antwort, aber ich Schussel hab die Gleichung ja garnicht aufgeschrieben. Entschuldigung MathePower.
Es handelt sich um: [mm] y''+8y'-9*y=2\cdot{}e^{-9\cdot{}x}
[/mm]
Allerdings komme ich da auf 0*a=2 was ja offensichtilch
falsch sein muss.
Meine Rechnung für den partikuläre Teil ist:
Ansatz: [mm]a*e^{cx}[/mm]
[mm]y=a*e^{-9x}[/mm]
[mm]y'=-9*a*e^{-9x}[/mm]
[mm]y''=81*a*e^{-9x}[/mm]
[mm]a*e^{-9x}*(81+8(-9)-9)=2*e^{-9x}[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] a(0)=2
Danke fürs Interesse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 06.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort, aber ich Schussel hab die Gleichung
> ja garnicht aufgeschrieben. Entschuldigung MathePower.
>
> Es handelt sich um: [mm]y''+8y'-9*y=2\cdot{}e^{-9\cdot{}x}[/mm]
>
>
> Allerdings komme ich da auf 0*a=2 was ja offensichtilch
> falsch sein muss.
>
> Meine Rechnung für den partikuläre Teil ist:
>
> Ansatz: [mm]a*e^{cx}[/mm]
Mit c=-9 ??
>
> [mm]y=a*e^{-9x}[/mm]
> [mm]y'=-9*a*e^{-9x}[/mm]
> [mm]y''=81*a*e^{-9x}[/mm]
>
> [mm]a*e^{-9x}*(81+8(-9)-9)=2*e^{-9x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a(0)=2
Dass Dein obiger Ansatz ins Leere läuft ist kein Wunder ! Denn -9 ist Nullstelle des char. Polynoms.
Schau Dir das mal an, insbes. den "Resonanzfall":
http://www2.htw-dresden.de/~mvoigt/m2-ab5.pdf
FRED
>
>
> Danke fürs Interesse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 06.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Ahh danke, darüber hatte ich noch nichts gefunden.
Dann sehen die Ableitungen so aus:
[mm] y=a*x\cdot{}e^{-9x}
[/mm]
[mm] y'=-9\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}+a*e^{-9x}
[/mm]
[mm] y''=81\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}-18*a*e^{-9x}
[/mm]
Damit kann ich dann schreiben:
[mm] 81\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}-18*a*e^{-9x}+8(-9\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}+a*e^{-9x})-9*a*x\cdot{}e^{-9x}=2*e^{-9x}
[/mm]
entspricht: 81ax-18a-72ax+8a-9ax=2
und komme dann auf [mm] a=-\bruch{1}{5} [/mm] richtig?
Dann wäre die Lösung insgesamt: [mm] y=y_{0}+y_{p}=C_{1}\cdot{}e^{x}+C_{2}\cdot{}e^{-9x}-\bruch{1}{5}\cdot{}e^{-9x}
[/mm]
oder muss ich bei [mm] y_{p} [/mm] jetzt noch das x einbauen, weil es im Ansatz vorkam? Wenn ja warum genau?
Danke fürs Interesse und die gute Hilfe.
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Hallo fred937,
> Ahh danke, darüber hatte ich noch nichts gefunden.
>
> Dann sehen die Ableitungen so aus:
> [mm]y=a*x\cdot{}e^{-9x}[/mm]
> [mm]y'=-9\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}+a*e^{-9x}[/mm]
> [mm]y''=81\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}-18*a*e^{-9x}[/mm]
>
> Damit kann ich dann schreiben:
>
> [mm]81\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}-18*a*e^{-9x}+8(-9\cdot{}a*x\cdot{}e^{-9x}+a*e^{-9x})-9*a*x\cdot{}e^{-9x}=2*e^{-9x}[/mm]
> entspricht: 81ax-18a-72ax+8a-9ax=2
>
> und komme dann auf [mm]a=-\bruch{1}{5}[/mm] richtig?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann wäre die Lösung insgesamt:
> [mm]y=y_{0}+y_{p}=C_{1}\cdot{}e^{x}+C_{2}\cdot{}e^{-9x}-\bruch{1}{5}\cdot{}e^{-9x}[/mm]
>
> oder muss ich bei [mm]y_{p}[/mm] jetzt noch das x einbauen, weil es
> im Ansatz vorkam? Wenn ja warum genau?
Das musst Du sogar, weil so der Ansatz lautete.
>
> Danke fürs Interesse und die gute Hilfe.
Gruss
MathePower
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