Partikuläre Lösung DGL 2. Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Kubs3 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
y''-5y'+6y=4*sin(2x)
Lsg: [mm] y_{allg}=\bruch{5}{19} cos(2x)+\bruch{1}{19}*sin(2x)+C_{1} e^{2x}+C_{2}*e^{3x} [/mm] |
Hi,
ich komme bei der Aufgabe nicht auf die richtige Lösung bzw. stimmt mein Ansatz der partikulären Lösung fürs Störglied ev. nicht:
Bei der homogenen quadratischen Gleichung komme ich auf
[mm] \lambda_{1}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
Lösung der homogenen Gleichung stimmt.
Jetzt ist mein [mm] \beta=2 [/mm] (aus dem Störglied) eine einfache Lösung der homogenen Gleichung [mm] (\beta =2=\lambda_{2} \not= \lambda_{1})
[/mm]
Somit müsste ich für die partikuläre Lösung laut Formelsammlung als Ansatz:
[mm] y(partikulär)=x^{1}*(Asin(2x) [/mm] + Bcos(2x)) = Axsin(2x)+Bxcos(2x) wählen.
Nach dem Ableiten und einsetzen in dei Ausgangsgleichung bekomme ich aber die Ax und Bx Terme nicht weg (Koeffizientenvergleich)
Andereseits, wenn ich probehalber mit dem Ansatz y=Asin(2x)+Bcos(2x) rechne, dann komme ich auf [mm] A=\bruch{1}{13} [/mm] und [mm] B=\bruch{5}{13}
[/mm]
Kann mir bitte jemand erklären welcher Ansatz richtig ist und warum?
Vielen Dank im voraus!
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Hallo kubs3,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
> y''-5y'+6y=4*sin(2x)
>
> Lsg: [mm]y_{allg}=\bruch{5}{19} cos(2x)+\bruch{1}{19}*sin(2x)+C_{1} e^{2x}+C_{2}*e^{3x}[/mm]
>
> Hi,
> ich komme bei der Aufgabe nicht auf die richtige Lösung
> bzw. stimmt mein Ansatz der partikulären Lösung fürs
> Störglied ev. nicht:
>
> Bei der homogenen quadratischen Gleichung komme ich auf
> [mm]\lambda_{1}=3[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
>
> Lösung der homogenen Gleichung stimmt.
>
> Jetzt ist mein [mm]\beta=2[/mm] (aus dem Störglied) eine einfache
> Lösung der homogenen Gleichung [mm](\beta =2=\lambda_{2} \not= \lambda_{1})[/mm]
>
> Somit müsste ich für die partikuläre Lösung laut
> Formelsammlung als Ansatz:
> [mm]y(partikulär)=x^{1}*(Asin(2x)[/mm] + Bcos(2x)) = Axsin(2x)+Bxcos(2x) wählen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach dem Ableiten und einsetzen in dei Ausgangsgleichung
> bekomme ich aber die Ax und Bx Terme nicht weg
> (Koeffizientenvergleich)
>
> Andereseits, wenn ich probehalber mit dem Ansatz
> y=Asin(2x)+Bcos(2x) rechne, dann komme ich auf
> [mm]A=\bruch{1}{13}[/mm] und [mm]B=\bruch{5}{13}[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand erklären welcher Ansatz richtig ist
> und warum?
Da die 2 aus [mm] $\sin(2x)$ [/mm] Lösung der charakteristischen Gleichung ist, ist der Ansatz: [mm] $y_p=x\cdot{}\left(A\cdot{}\sin(2x)+B\cdot{}\cos(2x)\right)$
[/mm]
Das hast du also richtig.
Ich vermute also einen Rechnenfehler, aber um den zu finden, müsstest du schon deine Rechnung posten ...
Ich weiß, es ist so einiges an Tipparbeit, aber schreibe zumindest mal [mm] $y_p'$ [/mm] und [mm] $y_p''$ [/mm] hin, dann sehen wir weiter ...
> Vielen Dank im voraus!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Kubs3 |
Danke!
y=Axsin2x+Bxcos2x
y´=Asin2x+2Axcos2x+Bcos2x-2Bxsin2x
y´´=4Acos2x-4Axsin2x-4Bsin2x-4Bxcos2x
Nach dem einsetzen in die Angabe:
4Acos2x+2Axsin2x-4Bsin2x+2Bxcos2x-5Asin2x-10Axcos2x-5Bcos2x+10Bxsin2x=4sin2x
:-(
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Hallo nochmal,
Dgl. ist bei mir schon länger her, daher habe ich nochmal in die ein oder andere Tabelle für die Ansätze für die partikuläre Lösung für verschiedene Störfunktionen geschaut. Ich hatte das wohl falsch in Erinnerung, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Es ist wohl so, dass du, wenn [mm]2\red{i}[/mm] Lösung der charakt. Gleichung ist, den Ansatz [mm]y_p=\blue x(A\sin(2x)+B\cos(2x))[/mm] wählst.
Da [mm]2i[/mm] keine NST ist, machst du den "einfachen" Ansatz [mm]y_p=A\sin(2x)+B\cos(2x)[/mm] ...
Damit kamst du ja auch zum Ziel, oder?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Kubs3 |
Danke schön für die Zeit und das Nachschauen!
Könntest Du mir bitte das etwas näher erklären.
Anscheinend verstehe ich da etwas ganz falsch:
Bis jetzt habe ich immer wenn [mm] \beta=2=\lambda_{1}, [/mm] sprich eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung war, den Ansatz mit dem x als Faktor genommen. Ebenso für [mm] e^{ax}.
[/mm]
Mit [mm] i\beta [/mm] kann ich im Moment bei diesem Bsp. nichts anfangen...
In diesem Bsp. habe ich doch reelle, nicht komplexe Nullstellen der chrakteristischen Gleichung (3, 2). Bei der Störfunktion habe ich [mm] \beta [/mm] =2.
Bitte - Danke!!
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Hallo Kubs3,
> Danke schön für die Zeit und das Nachschauen!
>
> Könntest Du mir bitte das etwas näher erklären.
> Anscheinend verstehe ich da etwas ganz falsch:
>
> Bis jetzt habe ich immer wenn [mm]\beta=2=\lambda_{1},[/mm] sprich
> eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung war,
> den Ansatz mit dem x als Faktor genommen. Ebenso für
> [mm]e^{ax}.[/mm]
>
> Mit [mm]i\beta[/mm] kann ich im Moment bei diesem Bsp. nichts
> anfangen...
>
> In diesem Bsp. habe ich doch reelle, nicht komplexe
> Nullstellen der chrakteristischen Gleichung (3, 2). Bei der
> Störfunktion habe ich [mm]\beta[/mm] =2.
>
Es ist so:
Ist die Störfunktion oder ein Teil von ihr zugleich Lösung
der homogenen DGL, so ist im Falle einfacher Lösungen,
der Ansatz entsprechend des betreffenden Teils der Störfunktion
mit x zu multiplizieren.
Analog im Falle einer doppelten Lösung,
dann ist mit [mm]x^{2}[/mm] zu multiplizieren.
Ist die Störfunktion oder ein Teil von ihr jedoch keine Lösung
der homogenen DGL, so ist der Ansatz gemäß der Störfunktion zu wählen.
> Bitte - Danke!!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Kubs3 |
Danke schön. So ist mir das ungefähr bekannt.
Nur wie ist es jetzt im Detail in meinem oben angeführten Beispiel?
Da wäre ja [mm] \beta=2 [/mm] (von sin2x eine einfache Lösung meiner homogenen Gleichung und ich multipliziere nicht mit x!
??
Danke!
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Hallo,
> Danke schön. So ist mir das ungefähr bekannt.
> Nur wie ist es jetzt im Detail in meinem oben angeführten
> Beispiel?
> Da wäre ja [mm]\beta=2[/mm] (von sin2x eine einfache Lösung
> meiner homogenen Gleichung und ich multipliziere nicht mit
> x!
Jawohl. Deshalb lautet Dein Ansatz: [mm] $y_p=A*sin(2x)+B*cos(2x)$ [/mm] .
> ??
> Danke!
Zur Kontrolle: [mm] $y_p=\frac{1}{13}*sin(2x)+\frac{5}{13}*cos(2x)$
[/mm]
(ohne Gewähr)
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Di 30.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu [mm] \lambda= [/mm] 2 gehört die Lösung [mm] e^{2x} [/mm] nicht sin(2x) oder cos(2x) nur zu [mm] \lambda=\sqrt{-4}=\pm [/mm] 2i gehören die trigonometrischen Funktionen sin/2y) und cos(2x) als Lösungeen.
gruss leduart
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