Pauli-Matrizen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Marinouk |
| Aufgabe | Die quantenmechanischen Paulimatrizen zur Beschreibung des Elektronenspins sind gegeben durch
sigma0 = 1, sigma1 = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] , sigma2 = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ i & 0 } [/mm] , sigma3 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
a) Man zeige explizit: Das Produkt zweier beliebiger Pauli-Matrizen sigma i * sigma j, wobei i,j = 1,2,3,lässt sich beschreiben als
sigma i * sigma j = [mm] \delta [/mm] ij * 1 + i * Xijk sigma k
Welche Werte nimmt dann die unbekannte Größe Xijk jeweils an?
b) e hoch Matrix. Man berechne [mm] e^{i/2 \alpha(\vec{n} \vec{sigma)}}, \vec{sigma} [/mm] = (sigma0, sigma1, sigma2, sigma3) und [mm] |\vec{n}| [/mm] = 1. Was ergibt sich speziell für [mm] |\vec{n}| [/mm] = (0,1,0,0)?
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Kann ich hier einfach zwei beliebige Matrizen multiplizeren um das Produkt heraus zu bekommen? MIr ist auch nicht so ganz klar, wie ich dqas mit dem Wert der unbekannten Größe Xijk machen soll. Ich komme mit den Indizes nicht so wirklich klar. Und Aufgabenteil b ist mir völlig unklar, wie ich das machen soll.
Wäre um nen paar ansätze und erklärungen wirklich sehr dankbar.
Ich hoffe das hat alles mit den Formatierungen hingehauen.
Lieber Gruß von Marinouk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Marinouk |
Bei dem Aufgabenteil b) soll das heißen i/2 * [mm] \alpha(\vec{n}*\vec{sigma}.
[/mm]
mfg
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Hallo!
Ich sehe da so auch keine Möglichkeit, direkt mit den Indizes rumzuspielen.
Mach folgendes. Berechne die 12 (!) Matrixprodukte wie z.B. [mm] \sigma_1\sigma_2. [/mm] Für die Indizes heißt das in dem Fall i=1, j=2, k=3.
Dann berechne die Terme nach der gegebenen Formel. (Denk dran, die 1 steht für die Einheitsmatrix). Durch Vergleich der Ergebnisse in beiden Fällen solltest du schnell sagen können, wie der Tensor [mm] X_{ijk} [/mm] aussieht. Der ist übrigens sehr einfach gestrickt, und sollte dir auch bekannt vorkommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Marinouk |
vielen dank für den ansatz. ich habe jetzt die 12 produkte berechnet, war ja nicht so schwer 
jetzt zu der formel: sehe ich das richtig, das [mm] \deltaij [/mm] = 0 ist, da ja [mm] i\not=j [/mm] ist und soll ich die formel dann na Xijk auflösen oder wie verstehe ich das?
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Hallo!
Ja, [mm] \delta_{ij}=1 [/mm] für $i=j$ und [mm] \delta_{ij}=0 [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] j$
nach X auflösen wird schwerlich gehen. Aber diese X sind einfache Zahlen. Sogar sehr sehr einfache Zahlen. Du schreibst jetzt einfach
[mm] \sigma_1\sigma_2=0*I+iX\sigma_3
[/mm]
Vielleicht schreibst du das noch etwas um:
[mm] \sigma_1\sigma_2-0*I=X(i*\sigma_3)
[/mm]
So, das linke Produkt hast du ausgerechnet, jetzt mußt du noch [mm] i\sigma_3 [/mm] ausrechnen und hinschreiben. Du siehst dann schon,was X ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Marinouk |
i ist ja 1, also 1* sigma3 oder?
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Äh ne, [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] . Das i im Index ist ne Zahl, kommt es aber so vor, ists die imaginäre Einheit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Marinouk |
achso...also kommt für i*sigma3 folgendes raus [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] ? verwirrt mich völlig diese aufgabe, sorry.
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